( 32,5 pontos) Um pellet esférico contendo um sólido ’
’ puro é suspenso em uma corrente de líquido ’
’ a
. O diâmetro inicial do pellet é de
e a velocidade do líquido é igual a 5
. O componente ’
’ é solúvel no líquido e , com o passar do tempo, o diâmetro do pellet diminui. O líquido em escoamento serve como um ‘sorvedouro infinito’ para o soluto, de modo que a concentração do soluto no seio do líquido é essencialmente zero. Este processo representa um sistema com transferência de massa convectiva em estado pseudo-estacionário.
(a) Estime o coeficiente de transferência de filme para o pellet com diâmetro inicial de
.
(b) Estime a taxa de ‘redução’ do pellet,
, quando o diâmetro do pellet é de
.
(c) Se o diâmetro do pellet diminuir de 1,0 para
, a taxa de transferência de massa,
, mudará por qual fator?
Todas as propriedades fisicas relevantes do sistema são fornecidas abaixo:
, a solubilidade de equilíbrio do soluto ’
', na interface sólido-líquido
;
coeficiente de difusão do soluto ’
’ no líquido a
;
, a massa molar do soluto ’
’
;
, a densidade do sólido ’
’
.
(a) Estime o coeficiente de transferência de filme para o pellet com diâmetro inicial de
(b) Estime a taxa de ‘redução’ do pellet,
(c) Se o diâmetro do pellet diminuir de 1,0 para
Passo 1
O que o enunciado pede:
- (a) Estimar o coeficiente de transferência de filme para o pellet com diâmetro inicial de
. - (b) Estimar a taxa de redução do pellet,
, em , quando o diâmetro do pellet é de . - (c) Se o diâmetro do pellet diminuir de
para , por qual fator a taxa de transferência de massa mudará?
Dados fornecidos (peguei todos do enunciado):
- solubilidade na interface:
; - coeficiente de difusão:
; - massa molar:
; - densidade do sólido:
; - velocidade do líquido:
; - diâmetro inicial do pellet:
(logo raio ); - condição de “sorvedouro infinito”: concentração no bulk
.
Observação necessária: o enunciado não dá propriedades hidráulicas do líquido (viscosidade/kinemática). Para usar uma correlação empírica de filme convectivo precisamos da viscosidade cinemática
. Vou assumir que o líquido
tem propriedades próximas às da água a
, pois isso é um caso físico comum e razoável quando nada mais é dado. Assim uso
Se a viscosidade real do líquido for muito diferente, os números mudarão; mas o procedimento e ordens de grandeza abaixo continuam válidos.
Passo 2
Conceitos e correlações que vamos usar (explicação didática):
- Para escoamento exterior sobre uma esfera, é comum usar o número de Sherwood
(análogo do Nusselt para calor) para relacionar o coeficiente convectivo de massa com e o comprimento característico ( ):
Aqui
tem unidades de
,
é o diâmetro da esfera em
,
em
.
- Para fluxo externo sobre esferas uma correlação clássica (analógica à Ranz–Marshall) é:
Esta fórmula é empírica, válida para uma faixa de Re e Sc típica de escoamentos externos moderados; ela captura que mesmo sem escoamento existe difusão radial (termo 2) e que o convectivo aumenta com Reynolds (
) e Schmidt (
).
- Definições:
Aqui
é a velocidade relativa do líquido (
),
é a viscosidade cinemática (
), e
o coeficiente de difusão.
- Uma vez obtido
, a taxa molar de transferência de massa do pellet (pressupondo superfície com concentração e bulk ) é:
onde
é a área da esfera:
.
- Relação entre perda de massa e redução do raio: massa do pellet
mols no pellet
. Diferenciando no tempo e igualando à perda por transferência:
Dessa equação isolamos
:
Isto tem unidades de
se
estiver em
.
Passo 3
Calcular o número de Schmidt
usando
e
:
Explicação curta:
compara a difusão viscosa com a difusão molecular da espécie
. Aqui é grande (
), típico de pequenas moléculas em água: a quantidade de “melado” viscoso é relativamente grande frente à difusão molecular.
Passo 4
Calcular o número de Reynolds para
:
Interpretação:
é fluxo moderadamente turbulento na vizinhança da esfera (regime intermediário), então a correlação empírica usada é adequada.
Passo 5
Calcular
e
para
.
- Primeiro
e . - Aplicando a correlação:
- Então
Breve verificação dimensional:
é adimensional,
em
, dividido por
em
dá
, correto.
Passo 6
Calcular a taxa molar
inicialmente (para
,
):
- Área da esfera:
- Fluxo molar total:
Calculemos passo a passo:
Interpretação: o pellet perde cerca de
mols por segundo nas condições dadas.
Passo 7
Derivar e calcular
quando
.
- Relembre a relação obtida:
- Para
:
- Logo o fator:
- Então:
- Converter para
(multiplicar por ):
Interpretação: o raio do pellet diminui a cerca de
por hora sob as condições iniciais. (Sinal negativo indica redução do raio.)
Passo 8
Parte (c): calcular fator de mudança de
quando
cai de
para
.
Seguindo o mesmo procedimento numérico para (ou seja,
):
Seguindo o mesmo procedimento numérico para
- Reynolds para
:
-
permanece (mesmo líquido). -
Sherwood:
- Coeficiente
:
(Observação:
aumentou ao reduzir
porque
e
diminui menos que proporcionalmente a
, então a razão cresce.)
- Área nova:
-
novo:
Cálculo:
- Fator de mudança (razão
):
Interpretação: ao reduzir o diâmetro de
para
a taxa de transferência molar
cai para cerca de
do valor original (ou seja, diminui por um fator
). Em outras palavras,
fica aproximadamente
do valor inicial.
Resposta
(a)
(b)
(c)