( 32,5 pontos) Um pellet esférico contendo um sólido ’ A ’ puro é suspenso em uma corrente de líquido ’ B ’ a 20^{\circ} \mathrm{C}. O diâmetro inicial do pellet é de 1,0 \mathrm{~cm} e a velocidade do líquido é igual a 5 \mathrm{cm} / \mathrm{s}. O componente ’ A ’ é solúvel no líquido e , com o passar do tempo, o diâmetro do pellet diminui. O líquido em escoamento serve como um ‘sorvedouro infinito’ para o soluto, de modo que a concentração do soluto no seio do líquido é essencialmente zero. Este processo representa um sistema com transferência de massa convectiva em estado pseudo-estacionário.
(a) Estime o coeficiente de transferência de filme para o pellet com diâmetro inicial de 1,0 \mathrm{~cm}.
(b) Estime a taxa de ‘redução’ do pellet, d R / d t, \mathrm{em} \mathrm{cm} / \mathrm{h}, quando o diâmetro do pellet é de 1,0 \mathrm{~cm}.
(c) Se o diâmetro do pellet diminuir de 1,0 para 0,5 \mathrm{~cm}, a taxa de transferência de massa, \mathrm{W}_{\mathrm{A}}, mudará por qual fator?
Todas as propriedades fisicas relevantes do sistema são fornecidas abaixo:
C_{\mathrm{A}}{ }^{*}, a solubilidade de equilíbrio do soluto ’ A ', na interface sólido-líquido =7 \times 10^{-4} \mathrm{gmol} / \mathrm{cm}^{3};
D_{A B}, o coeficiente de difusão do soluto ’ A ’ no líquido a 20^{\circ} \mathrm{C}=1,2 \times 10^{-5} \mathrm{~cm}^{2} / \mathrm{s} ;
\mathrm{M}_{\mathrm{A}}, a massa molar do soluto ’ A =110 \mathrm{~g} / \mathrm{gmol};
\rho_{\mathrm{A}}, a densidade do sólido ’ A =2,0 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • (a) Estimar o coeficiente de transferência de filme para o pellet com diâmetro inicial de 1{,}0\\ \mathrm{cm}.
  • (b) Estimar a taxa de redução do pellet, dR/dt, em \mathrm{cm}/\mathrm{h}, quando o diâmetro do pellet é de 1{,}0\\ \mathrm{cm}.
  • (c) Se o diâmetro do pellet diminuir de 1{,}0 para 0{,}5\\ \mathrm{cm}, por qual fator a taxa de transferência de massa W_A mudará?
Dados fornecidos (peguei todos do enunciado):
  • solubilidade na interface: C_A^{*}=7\times10^{-4}\\ \mathrm{gmol}/\mathrm{cm}^{3};
  • coeficiente de difusão: D_{AB}=1{,}2\times10^{-5}\\ \mathrm{cm}^{2}/\mathrm{s};
  • massa molar: M_A=110\\ \mathrm{g}/\mathrm{gmol};
  • densidade do sólido: \rho_A=2{,}0\\ \mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3};
  • velocidade do líquido: u=5\\ \mathrm{cm}/\mathrm{s};
  • diâmetro inicial do pellet: d=1{,}0\\ \mathrm{cm} (logo raio R=0{,}5\\ \mathrm{cm});
  • condição de “sorvedouro infinito”: concentração no bulk =0.
Observação necessária: o enunciado não dá propriedades hidráulicas do líquido (viscosidade/kinemática). Para usar uma correlação empírica de filme convectivo precisamos da viscosidade cinemática \nu. Vou assumir que o líquido B tem propriedades próximas às da água a 20^\circ\mathrm{C}, pois isso é um caso físico comum e razoável quando nada mais é dado. Assim uso
\nu = 1{,}0\times10^{-2}\\ \mathrm{cm}^2/\mathrm{s}.
Se a viscosidade real do líquido for muito diferente, os números mudarão; mas o procedimento e ordens de grandeza abaixo continuam válidos.

Passo 2

Conceitos e correlações que vamos usar (explicação didática):
  • Para escoamento exterior sobre uma esfera, é comum usar o número de Sherwood \mathrm{Sh} (análogo do Nusselt para calor) para relacionar o coeficiente convectivo de massa k_c com D_{AB} e o comprimento característico ( d):
\mathrm{Sh} = \frac{k_c d}{D_{AB}}.
Aqui k_c tem unidades de \mathrm{cm}/\mathrm{s}, d é o diâmetro da esfera em \mathrm{cm}, D_{AB} em \mathrm{cm}^2/\mathrm{s}.
  • Para fluxo externo sobre esferas uma correlação clássica (analógica à Ranz–Marshall) é:
\mathrm{Sh} = 2 + 0{,}6\,\mathrm{Re}^{1/2}\,\mathrm{Sc}^{1/3}.
Esta fórmula é empírica, válida para uma faixa de Re e Sc típica de escoamentos externos moderados; ela captura que mesmo sem escoamento existe difusão radial (termo 2) e que o convectivo aumenta com Reynolds ( \mathrm{Re}) e Schmidt ( \mathrm{Sc}).
  • Definições:
\mathrm{Re}=\frac{u d}{\nu},\qquad \mathrm{Sc}=\frac{\nu}{D_{AB}}.
Aqui u é a velocidade relativa do líquido ( \mathrm{cm}/\mathrm{s}), \nu é a viscosidade cinemática ( \mathrm{cm}^2/\mathrm{s}), e D_{AB} o coeficiente de difusão.
  • Uma vez obtido k_c, a taxa molar de transferência de massa do pellet (pressupondo superfície com concentração C_A^{*} e bulk =0) é:
W_A = k_c \, A \, C_A^{*},
onde A é a área da esfera: A=4\pi R^2 = \pi d^2.
  • Relação entre perda de massa e redução do raio: massa do pellet
m=\frac{4}{3}\pi R^3 \rho_A,
mols no pellet n=\dfrac{m}{M_A}. Diferenciando no tempo e igualando à perda por transferência:
\frac{dn}{dt}=\frac{1}{M_A}\frac{dm}{dt}=\frac{1}{M_A}\cdot 4\pi R^2 \rho_A \frac{dR}{dt} = -W_A.
Dessa equação isolamos dR/dt:
\frac{dR}{dt} = -\frac{M_A}{4\pi \rho_A R^2}\,W_A.
Isto tem unidades de \mathrm{cm}/\mathrm{s} se W_A estiver em \mathrm{gmol}/\mathrm{s}.

Passo 3

Calcular o número de Schmidt \mathrm{Sc} usando \nu=1{,}0\times10^{-2}\\ \mathrm{cm}^2/\mathrm{s} e D_{AB}=1{,}2\times10^{-5}\\ \mathrm{cm}^2/\mathrm{s}:
\mathrm{Sc}=\frac{\nu}{D_{AB}}=\frac{1{,}0\times10^{-2}}{1{,}2\times10^{-5}}=833{,}33\\ (\text{aprox.}).
Explicação curta: \mathrm{Sc} compara a difusão viscosa com a difusão molecular da espécie A. Aqui é grande ( \sim8{,}3\times10^2), típico de pequenas moléculas em água: a quantidade de “melado” viscoso é relativamente grande frente à difusão molecular.

Passo 4

Calcular o número de Reynolds para d=1{,}0\\ \mathrm{cm}:
\mathrm{Re}=\frac{u d}{\nu}=\frac{5\cdot 1{,}0}{1{,}0\times10^{-2}}=500.
Interpretação: \mathrm{Re}=500 é fluxo moderadamente turbulento na vizinhança da esfera (regime intermediário), então a correlação empírica usada é adequada.

Passo 5

Calcular \mathrm{Sh} e k_c para d=1{,}0\\ \mathrm{cm}.
  • Primeiro \mathrm{Re}^{1/2}=\sqrt{500}=22{,}3607 e \mathrm{Sc}^{1/3}\approx 833{,}33^{1/3}\approx9{,}409.
  • Aplicando a correlação:
\mathrm{Sh}=2+0{,}6\cdot 22{,}3607\cdot 9{,}409 \approx 2 + 126{,}24 \approx 128{,}24.
  • Então
k_c = \frac{\mathrm{Sh}\,D_{AB}}{d} = \frac{128{,}24\cdot 1{,}2\times10^{-5}}{1{,}0} \approx 1{,}5389\times10^{-3}\\ \mathrm{cm}/\mathrm{s}.
Breve verificação dimensional: \mathrm{Sh} é adimensional, D_{AB} em \mathrm{cm}^2/\mathrm{s}, dividido por d em \mathrm{cm} \mathrm{cm}/\mathrm{s}, correto.

Passo 6

Calcular a taxa molar W_A inicialmente (para d=1{,}0\\ \mathrm{cm}, R=0{,}5\\ \mathrm{cm}):
  • Área da esfera:
A = 4\pi R^2 = 4\pi (0{,}5)^2 = \pi\\ \mathrm{cm}^2 \approx 3{,}1416\\ \mathrm{cm}^2.
  • Fluxo molar total:
W_A = k_c A C_A^{*} = 1{,}5389\times10^{-3}\cdot 3{,}1416\cdot 7\times10^{-4}.
Calculemos passo a passo:
1{,}5389\times10^{-3}\cdot 3{,}1416 \approx 4{,}828\times10^{-3},
W_A \approx 4{,}828\times10^{-3}\cdot 7\times10^{-4} \approx 3{,}3796\times10^{-6}\\ \mathrm{gmol}/\mathrm{s}.
Interpretação: o pellet perde cerca de 3{,}38\times10^{-6} mols por segundo nas condições dadas.

Passo 7

Derivar e calcular dR/dt quando d=1{,}0\\ \mathrm{cm}.
  • Relembre a relação obtida:
\frac{dR}{dt} = -\frac{M_A}{4\pi \rho_A R^2}\,W_A.
  • Para R=0{,}5\\ \mathrm{cm}:
4\pi \rho_A R^2 = 4\pi\cdot 2{,}0 \cdot (0{,}5)^2 = 4\pi\cdot 2{,}0\cdot 0{,}25 = 2\pi \approx 6{,}2832\\ (\text{unidades consis.}).
  • Logo o fator:
\frac{M_A}{4\pi \rho_A R^2} = \frac{110}{2\pi} \approx 17{,}52\\ \frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{gmol}}.
  • Então:
\frac{dR}{dt} = -17{,}52 \cdot 3{,}3796\times10^{-6}\\ \mathrm{cm}/\mathrm{s} \approx -5{,}923\times10^{-5}\\ \mathrm{cm}/\mathrm{s}.
  • Converter para \mathrm{cm}/\mathrm{h} (multiplicar por 3600\\ \mathrm{s}/\mathrm{h}):
\frac{dR}{dt} \approx -5{,}923\times10^{-5}\cdot 3600 \approx -0{,}2132\\ \mathrm{cm}/\mathrm{h}.
Interpretação: o raio do pellet diminui a cerca de 0{,}21\\ \mathrm{cm} por hora sob as condições iniciais. (Sinal negativo indica redução do raio.)

Passo 8

Parte (c): calcular fator de mudança de W_A quando d cai de 1{,}0 para 0{,}5\\ \mathrm{cm}.
Seguindo o mesmo procedimento numérico para d=0{,}5\\ \mathrm{cm} (ou seja, R=0{,}25\\ \mathrm{cm}):
  • Reynolds para d=0{,}5:
\mathrm{Re}=\frac{u d}{\nu}=\frac{5\cdot 0{,}5}{1{,}0\times10^{-2}}=250.
\mathrm{Re}^{1/2}=\sqrt{250}\approx15{,}811.
  • \mathrm{Sc}^{1/3} permanece \approx9{,}409 (mesmo líquido).
  • Sherwood:
\mathrm{Sh}=2+0{,}6\cdot 15{,}811\cdot 9{,}409 \approx 2 + 89{,}238 \approx 91{,}238.
  • Coeficiente k_c:
k_c = \frac{\mathrm{Sh}D_{AB}}{d} = \frac{91{,}238\cdot 1{,}2\times10^{-5}}{0{,}5} \approx 2{,}1897\times10^{-3}\\ \mathrm{cm}/\mathrm{s}.
(Observação: k_c aumentou ao reduzir d porque k_c\sim\mathrm{Sh}D/d e \mathrm{Sh} diminui menos que proporcionalmente a d, então a razão cresce.)
  • Área nova:
A_{\text{novo}} = \pi d^2 = \pi (0{,}5)^2 = 0{,}25\pi \approx 0{,}7854\\ \mathrm{cm}^2.
  • W_A novo:
W_{A,\text{novo}} = k_c A_{\text{novo}} C_A^{*} \approx 2{,}1897\times10^{-3}\cdot 0{,}7854\cdot 7\times10^{-4}.
Cálculo:
2{,}1897\times10^{-3}\cdot 0{,}7854 \approx 1{,}718\times10^{-3},
W_{A,\text{novo}} \approx 1{,}718\times10^{-3}\cdot 7\times10^{-4} \approx 1{,}2028\times10^{-6}\\ \mathrm{gmol}/\mathrm{s}.
  • Fator de mudança (razão W_{A,\text{novo}}/W_{A,\text{inicial}}):
\frac{W_{A,\text{novo}}}{W_{A,\text{inicial}}} \approx \frac{1{,}2028\times10^{-6}}{3{,}3796\times10^{-6}} \approx 0{,}3559\\ (\approx0{,}356).
Interpretação: ao reduzir o diâmetro de 1{,}0 para 0{,}5\\ \mathrm{cm} a taxa de transferência molar W_A cai para cerca de 35{,}6\% do valor original (ou seja, diminui por um fator \approx0{,}356). Em outras palavras, W_A fica aproximadamente 1/2{,}81 do valor inicial.

Resposta

(a) k_c \approx 1{,}54\times10^{-3}\\ \mathrm{cm}/\mathrm{s}.
(b) \dfrac{dR}{dt}\approx -0{,}213\\ \mathrm{cm}/\mathrm{h}.
(c) \dfrac{W_{A}(d=0{,}5\\ \mathrm{cm})}{W_{A}(d=1{,}0\\ \mathrm{cm})}\approx 0{,}356.

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