( 2,5 pontos) Aletas anulares de alumínio com perfil retangular estão fixadas a um tubo circular que possui diâmetro externo de 50 mm e uma temperatura na superfície externa igual a
. As aletas possuem
de espessura e
de comprimento. O sistema se encontra no ar ambiente a
com um coeficiente convectivo na superfície de
. Quais são a eficiência e efetividade das aletas?.
Passo 1
O enunciado dá as aletas anulares (perfil retangular) fixadas em um tubo e pede a eficiência e a efetividade das aletas. Dados fornecidos (peguei estes valores do enunciado):
- Diâmetro externo do tubo:
. - Temperatura da superfície do tubo (base das aletas):
. - Temperatura do ar ambiente:
. - Espessura da aleta (axial):
. - Comprimento radial da aleta:
. - Coeficiente convectivo:
. - Material: alumínio. Vou usar a condutividade típica do alumínio:
.
O que o exercício pede:
- Eficiência da aleta
(relação entre o calor realmente transferido pela aleta e o calor que seria transferido se toda a aleta estivesse à temperatura da base). - Efetividade (effectiveness) da aleta
(relação entre o calor fornecido pela aleta e o calor que seria fornecido pela mesma área de superfície da base sem aleta).
Passo 2
Conceitos e fórmulas essenciais (aulas rápidas):
- Temperatura de diferença de referência na base:
. - Definição de eficiência da aleta (uma aleta isolada):
, onde é o calor que seria removido se toda a superfície da aleta estivesse à temperatura da base e é a área total da aleta exposta ao escoamento. - Definição de efetividade da aleta (por aleta):
, onde é a área de superfície do tubo que fica “substituída” por uma aleta (ou seja, a área de base correspondente àquela aleta). - Para aletas anulares finas (anel plano com espessura axial
) a equação diferencial da temperatura reduz a um parâmetro constante dado por
onde
é o perímetro molhado e
a área de seção na direção do fluxo. Para uma aleta anular (área circular entre
e
) tem-se
independente de
, daí resulta a simplificação usual
Explicação curta do porquê: o perímetro molhado por unidade radial (considerando as duas faces superior e inferior) é
e a área de condução na seção radial é
; assim
e
.
- Quando
é pequeno ou quando a convecção na ponta é pouco importante, a aproximação com ponta isolada dá a fórmula simples de eficiência (muito usada em exercícios):
Vou verificar a validade dessa aproximação explicitando o termo de convecção na ponta adimensional mais adiante.
Passo 3
Calcule as quantidades geométricas básicas (radiais e áreas):
- Raio do tubo (base da aleta):
. - Raio externo da aleta:
. - Diferença de temperatura de base:
.
Área total da aleta exposta à convecção
(duas faces do anel mais a borda externa do anel):
Explicando de forma prática (mais direta): as duas faces (superior e inferior) têm área cada uma igual a
, somando
. A área da borda externa (circunferência externa vezes espessura axial) é
. Assim:
Substituindo números:
Área da base correspondente (área do tubo coberta por uma aleta, usada na definição de efetividade):
Razão
:
Passo 4
Calcular o parâmetro
para a aleta anular usando a fórmula simplificada:
Substituindo
,
,
,
Calcule
:
Passo 5
Verificar se a aproximação de ponta isolada (fórmula
) é aceitável. Para isso compare o termo adimensional que mede a importância da convecção na ponta, que aparece como
. Se esse termo for pequeno, a condição de ponta isolada é razoável:
Como
, a convecção na ponta é pequena em relação à condução e a aproximação de ponta isolada é aceitável. Portanto uso
Passo 6
Calcular a eficiência
.
- Primeiro calcule
. Para ,
- Assim
Em porcentagem,
. Arredondando para três algarismos significativos:
.
Passo 7
Calcular a efetividade
usando
:
Arredondando:
.
Interpretação rápida (aniimadora): cada aleta aumenta a transferência de calor em cerca de um fator 11 em relação à mesma área do tubo sem aleta — e a aleta está muito eficiente porque o alumínio conduz bem e a aleta é curta.