( 2,5 pontos) Aletas anulares de alumínio com perfil retangular estão fixadas a um tubo circular que possui diâmetro externo de 50 mm e uma temperatura na superfície externa igual a 200^{\circ} \mathrm{C}. As aletas possuem 4 m m de espessura e 15 m m de comprimento. O sistema se encontra no ar ambiente a 20^{\circ} \mathrm{C} com um coeficiente convectivo na superfície de 40 W / m^{2} . K. Quais são a eficiência e efetividade das aletas?.

Passo 1

O enunciado dá as aletas anulares (perfil retangular) fixadas em um tubo e pede a eficiência e a efetividade das aletas. Dados fornecidos (peguei estes valores do enunciado):
  • Diâmetro externo do tubo: D=50\\ \text{mm} = 0,050\\ \text{m}.
  • Temperatura da superfície do tubo (base das aletas): T_b=200^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura do ar ambiente: T_\infty=20^\circ\mathrm{C}.
  • Espessura da aleta (axial): t=4\\ \text{mm}=0,004\\ \text{m}.
  • Comprimento radial da aleta: L=15\\ \text{mm}=0,015\\ \text{m}.
  • Coeficiente convectivo: h=40\\ \mathrm{W/m^{2}K}.
  • Material: alumínio. Vou usar a condutividade típica do alumínio: k=205\\ \mathrm{W/m\cdot K}.
O que o exercício pede:
  1. Eficiência da aleta \eta (relação entre o calor realmente transferido pela aleta e o calor que seria transferido se toda a aleta estivesse à temperatura da base).
  2. Efetividade (effectiveness) da aleta \varepsilon (relação entre o calor fornecido pela aleta e o calor que seria fornecido pela mesma área de superfície da base sem aleta).

Passo 2

Conceitos e fórmulas essenciais (aulas rápidas):
  • Temperatura de diferença de referência na base: \theta_b = T_b - T_\infty.
  • Definição de eficiência da aleta (uma aleta isolada): \eta = \dfrac{q_\text{real}}{q_\text{max}}, onde q_\text{max}=h A_f \theta_b é o calor que seria removido se toda a superfície da aleta estivesse à temperatura da base e A_f é a área total da aleta exposta ao escoamento.
  • Definição de efetividade da aleta (por aleta): \varepsilon = \dfrac{q_\text{real}}{h A_b \theta_b} = \eta\;\dfrac{A_f}{A_b}, onde A_b é a área de superfície do tubo que fica “substituída” por uma aleta (ou seja, a área de base correspondente àquela aleta).
  • Para aletas anulares finas (anel plano com espessura axial t) a equação diferencial da temperatura reduz a um parâmetro constante m dado por
m^2=\frac{hP}{kA_c},
onde P é o perímetro molhado e A_c a área de seção na direção do fluxo. Para uma aleta anular (área circular entre r_0 e r_0+L) tem-se P/A_c = 2/t independente de r, daí resulta a simplificação usual
m=\sqrt{\frac{2h}{k\,t}}.
Explicação curta do porquê: o perímetro molhado por unidade radial (considerando as duas faces superior e inferior) é P=2\cdot (2\pi r) e a área de condução na seção radial é A_c = t\cdot (2\pi r); assim P/A_c = 2/t e m^2=h(P)/(kA_c)=2h/(k t).
  • Quando mL é pequeno ou quando a convecção na ponta é pouco importante, a aproximação com ponta isolada dá a fórmula simples de eficiência (muito usada em exercícios):
\eta \approx \frac{\operatorname{tanh}(mL)}{mL}.
Vou verificar a validade dessa aproximação explicitando o termo de convecção na ponta adimensional mais adiante.

Passo 3

Calcule as quantidades geométricas básicas (radiais e áreas):
  • Raio do tubo (base da aleta): r_0=\dfrac{D}{2}=\dfrac{0,050}{2}=0,025\\ \text{m}.
  • Raio externo da aleta: r_2=r_0+L=0,025+0,015=0,040\\ \text{m}.
  • Diferença de temperatura de base: \theta_b=T_b-T_\infty=200-20=180\\ \text{K}.
Área total da aleta exposta à convecção A_f (duas faces do anel mais a borda externa do anel):
A_f = 2\pi\bigl(r_2^2-r_0^2\bigr)\cdot 2\cdot\frac{1}{2}\;+\; \text{área da borda externa}.á
Explicando de forma prática (mais direta): as duas faces (superior e inferior) têm área cada uma igual a \pi(r_2^2-r_0^2), somando 2\pi(r_2^2-r_0^2). A área da borda externa (circunferência externa vezes espessura axial) é 2\pi r_2 t. Assim:
A_f = 2\pi\bigl(r_2^2-r_0^2\bigr) + 2\pi r_2 t.
Substituindo números:
r_2^2-r_0^2=0,040^2-0,025^2=0,001600-0,000625=0,000975\\ \text{m}^2,
2\pi\bigl(r_2^2-r_0^2\bigr)=2\pi(0,000975)=0,006127\\ \text{m}^2,
2\pi r_2 t = 2\pi(0,040)(0,004)=0,0010053\\ \text{m}^2,
A_f = 0,006127 + 0,0010053 = 0,0071323\\ \text{m}^2.
Área da base correspondente (área do tubo coberta por uma aleta, usada na definição de efetividade):
A_b = \text{circunferência à } r_0 \times t = 2\pi r_0 t = 2\pi(0,025)(0,004)=0,00062832\\ \text{m}^2.êà
Razão A_f/A_b:
\frac{A_f}{A_b}=\frac{0,0071323}{0,00062832}\approx 11,3559.

Passo 4

Calcular o parâmetro m para a aleta anular usando a fórmula simplificada:
m=\sqrt{\frac{2h}{k\,t}}.
Substituindo h=40\\ \mathrm{W/m^2K}, k=205\\ \mathrm{W/mK}, t=0,004\\ \text{m},
m^2=\frac{2\cdot 40}{205\cdot 0,004}=\frac{80}{0,82}=97{,}5609756,
m=\sqrt{97{,}5609756}\approx 9{,}877\\ \mathrm{m^{-1}}.
Calcule mL:
mL = 9{,}877\cdot 0,015 \approx 0{,}1482.

Passo 5

Verificar se a aproximação de ponta isolada (fórmula \eta\approx\operatorname{tanh}(mL)/(mL)) é aceitável. Para isso compare o termo adimensional que mede a importância da convecção na ponta, que aparece como h/(m k). Se esse termo for pequeno, a condição de ponta isolada é razoável:
\frac{h}{m k}=\frac{40}{9{,}877\cdot 205}\approx \frac{40}{2024{,}4}\approx 0{,}0198.
Como h/(m k)\approx 0{,}02\ll 1, a convecção na ponta é pequena em relação à condução e a aproximação de ponta isolada é aceitável. Portanto uso
\eta \approx \frac{\operatorname{tanh}(mL)}{mL}.

Passo 6

Calcular a eficiência \eta.
  • Primeiro calcule \operatorname{tanh}(mL). Para mL\approx 0{,}1482,
\operatorname{tanh}(0{,}1482)\approx 0{,}1471\\ \\ (\text{valor numérico}).é
  • Assim
\eta \approx \frac{0{,}1471}{0{,}1482}\approx 0{,}9926.
Em porcentagem, \eta\approx 99{,}26\%. Arredondando para três algarismos significativos: \eta\approx 0{,}993.

Passo 7

Calcular a efetividade \varepsilon usando \varepsilon=\eta\,(A_f/A_b):
\varepsilon = 0{,}9926\times 11{,}3559 \approx 11{,}27.
Arredondando: \varepsilon\approx 11{,}3.
Interpretação rápida (aniimadora): cada aleta aumenta a transferência de calor em cerca de um fator 11 em relação à mesma área do tubo sem aleta — e a aleta está muito eficiente porque o alumínio conduz bem e a aleta é curta.

Resposta

\eta \approx 0,993
\varepsilon \approx 11,3

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