1. (Questão Bônus) Resolva a equação diferencial pelo método da Transformada de Laplace:
y^{(3)}(t)+3 y^{\prime \prime}(t)+3 y^{\prime}(t)+y(t)=e^{-t}, \quad y(0)=0, y^{\prime}(0)=1, y^{\prime \prime}(0)=0
Regra: Não use frações parciais. Manipule matematicamente e use as propriedade:
\begin{aligned} & (a+b)^{3}=a^{3}+3 a^{2} b+3 a b^{2}+b^{3} \\\ & \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{(s+a)^{n}}\right\}=\frac{t^{n-1}}{(n-1)!} e^{-a t} \end{aligned}

Passo 1

Enunciado e dados fornecidos (o que o problema pede):
  • Resolver a equação diferencial
y^{(3)}(t)+3\,y^{\prime\prime}(t)+3\,y^{\prime}(t)+y(t)=e^{-t}
com as condições iniciais
y(0)=0,\quad y^{\prime}(0)=1,\quad y^{\prime\prime}(0)=0.
  • O objetivo é encontrar a função y(t) que satisfaz a equação e as condições iniciais.
  • Observação dos dados importantes do enunciado: o termo do lado direito é \,e^{-t}\, e as condições iniciais são explicitadas acima.

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados (vamos usar a notação \mathcal{L}\{y(t)\}=Y(s)) e lembrando as fórmulas para derivadas:
\mathcal{L}\{y'(t)\}=sY(s)-y(0),\quad \mathcal{L}\{y''(t)\}=s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0),
\mathcal{L}\{y^{(3)}(t)\}=s^{3}Y(s)-s^{2}y(0)-s\,y'(0)-y''(0).
Agora substituímos as condições iniciais \,y(0)=0,\;y'(0)=1,\;y''(0)=0\, para calcular cada termo:
\mathcal{L}\{y'(t)\}=sY(s),
\mathcal{L}\{y''(t)\}=s^{2}Y(s)-1,
\mathcal{L}\{y^{(3)}(t)\}=s^{3}Y(s)-s.

Passo 3

Transformando a equação inteira no domínio s:
\big(s^{3}Y(s)-s\big)+3\big(s^{2}Y(s)-1\big)+3\big(sY(s)\big)+Y(s)=\mathcal{L}\{e^{-t}\}.
A transformada de \,e^{-t}\, é \dfrac{1}{s+1}, então a igualdade fica
s^{3}Y(s)-s+3s^{2}Y(s)-3+3sY(s)+Y(s)=\frac{1}{s+1}.
Agrupando os termos em Y(s) e os termos independentes:
\big(s^{3}+3s^{2}+3s+1\big)Y(s)-(s+3)=\frac{1}{s+1}.

Passo 4

Usamos a identidade do enunciado para reconhecer o polinômio:
(s+1)^{3}=s^{3}+3s^{2}+3s+1.
Assim a equação em s fica
(s+1)^{3}Y(s)-(s+3)=\frac{1}{s+1}.
Isolando Y(s),
(s+1)^{3}Y(s)=(s+3)+\frac{1}{s+1}.
Portanto
Y(s)=\frac{s+3}{(s+1)^{3}}+\frac{1}{(s+1)^{4}}.
(Observe que apenas dividimos termo a termo por (s+1)^{3}; não fizemos frações parciais.)

Passo 5

Manipulamos \dfrac{s+3}{(s+1)^{3}} para expressá-lo como soma de potências de (s+1) no denominador, sem recorrer a frações parciais. Escrevemos o numerador como
s+3=(s+1)+2.
Então
\frac{s+3}{(s+1)^{3}}=\frac{s+1}{(s+1)^{3}}+\frac{2}{(s+1)^{3}}=\frac{1}{(s+1)^{2}}+\frac{2}{(s+1)^{3}}.
Somando o outro termo de Y(s) obtemos
Y(s)=\frac{1}{(s+1)^{2}}+\frac{2}{(s+1)^{3}}+\frac{1}{(s+1)^{4}}.

Passo 6

Agora vamos aplicar a transformada inversa termo a termo. Usamos a propriedade fornecida:
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{(s+a)^{n}}\right\}=\frac{t^{\,n-1}}{(n-1)!}e^{-a t}.
Aplicando com a=1 a cada parcela:
  • Para \dfrac{1}{(s+1)^{2}}: aqui n=2, logo
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{(s+1)^{2}}\right\}= \frac{t^{1}}{1!}e^{-t}=t\,e^{-t}.
  • Para \dfrac{2}{(s+1)^{3}}: aqui n=3, então
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{2}{(s+1)^{3}}\right\}=2\cdot\frac{t^{2}}{2!}e^{-t}=2\cdot\frac{t^{2}}{2}e^{-t}=t^{2}e^{-t}.
  • Para \dfrac{1}{(s+1)^{4}}: aqui n=4, então
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{(s+1)^{4}}\right\}=\frac{t^{3}}{3!}e^{-t}=\frac{t^{3}}{6}e^{-t}.

Passo 7

Somando os termos inversos obtemos a solução no domínio do tempo:
y(t)=\big(t+t^{2}+\tfrac{t^{3}}{6}\big)e^{-t}.
Uma forma compacta é
y(t)=\left(t+t^{2}+\frac{t^{3}}{6}\right)e^{-t}.
Você pode, se quiser, verificar rapidamente que essa função satisfaz as condições iniciais e a equação (basta derivar e substituir), mas a manipulação por transformada de Laplace garantiu a solução correta.

Resposta

\displaystyle y(t)=\left(t+t^{2}+\frac{t^{3}}{6}\right)e^{-t}

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