- (Questão Bônus) Resolva a equação diferencial pelo método da Transformada de Laplace:
Regra: Não use frações parciais. Manipule matematicamente e use as propriedade:
Passo 1
Enunciado e dados fornecidos (o que o problema pede):
- Resolver a equação diferencial
com as condições iniciais
- O objetivo é encontrar a função
que satisfaz a equação e as condições iniciais. - Observação dos dados importantes do enunciado: o termo do lado direito é
e as condições iniciais são explicitadas acima.
Passo 2
Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados (vamos usar a notação
) e lembrando as fórmulas para derivadas:
Agora substituímos as condições iniciais
para calcular cada termo:
Passo 3
Transformando a equação inteira no domínio
:
A transformada de
é
, então a igualdade fica
Agrupando os termos em
e os termos independentes:
Passo 4
Usamos a identidade do enunciado para reconhecer o polinômio:
Assim a equação em
fica
Isolando
,
Portanto
(Observe que apenas dividimos termo a termo por
; não fizemos frações parciais.)
Passo 5
Manipulamos
para expressá-lo como soma de potências de
no denominador, sem recorrer a frações parciais. Escrevemos o numerador como
Então
Somando o outro termo de
obtemos
Passo 6
Agora vamos aplicar a transformada inversa termo a termo. Usamos a propriedade fornecida:
Aplicando com
a cada parcela:
- Para
: aqui , logo
- Para
: aqui , então
- Para
: aqui , então
Passo 7
Somando os termos inversos obtemos a solução no domínio do tempo:
Uma forma compacta é
Você pode, se quiser, verificar rapidamente que essa função satisfaz as condições iniciais e a equação (basta derivar e substituir), mas a manipulação por transformada de Laplace garantiu a solução correta.