Demonstre as seguintes identidades do cálculo vetorial:
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar a identidade
Informações dadas e o que se pede:
-
é um campo escalar (função) suficientemente diferenciável. -
é um campo vetorial com componentes diferenciáveis. - Precisamos mostrar, a partir das definições, que o rotor do produto escalar-por-vetor satisfaz a fórmula acima.
Passo 2
Definições e notação que vamos usar (explico cada coisa):
- Escrevemos
, onde são funções de . - O gradiente de
é
Isto significa que cada componente é a derivada parcial de
em relação àquela variável.
- O rotor (curl) de um campo vetorial
é definido por componentes como
- A regra do produto para derivadas parciais: para funções
e ,
e análogas para
e
.
- O produto vetorial tem componentes, por exemplo,
Vou usar essas definições para provar a identidade componente a componente.
Passo 3
Calculemos o componente
de
. Primeiro
. Pela definição do rotor,
Aplicando a regra do produto nas derivadas parciais:
Subtraindo,
Agrupando termos:
Passo 4
Interprete os dois termos do resultado do passo anterior:
- O primeiro termo é
vezes a componente do rotor de , isto é
- O segundo termo é exatamente a componente
do produto vetorial , porque
Portanto juntando,
Passo 5
Façamos o mesmo para a componente
. Pela definição,
Aplicando a regra do produto,
Subtraindo e agrupando:
Reconhecemos o primeiro termo como
e o segundo como
. Logo
Passo 6
Agora a componente
:
Usando a regra do produto,
Subtraindo e agrupando:
Novamente o primeiro termo é
e o segundo é
. Então
Passo 7
Como cada componente
satisfaz
concluímos a identidade vetorial completa:
Observação útil: como
, a forma pode ser reescrita também como
Passo 8
Pequena verificação numérica simples (exemplo para fixar a ideia):
- Tome
e . - Então
. Calculando o rotor diretamente dá . - Pelas fórmulas:
, , então
que coincide com o cálculo direto. Isso confirma na prática a identidade.