Demonstre as seguintes identidades do cálculo vetorial:
\vec{\nabla} \times(f \vec{u})=\vec{\nabla} \times \vec{u}+\vec{u} \times \vec{\nabla} f

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar a identidade
\vec{\nabla}\times(f\vec{u})=\vec{\nabla}f\times\vec{u}+f\,\vec{\nabla}\times\vec{u}.
Informações dadas e o que se pede:
  • f é um campo escalar (função) suficientemente diferenciável.
  • \vec{u} é um campo vetorial \vec{u}(x,y,z) com componentes diferenciáveis.
  • Precisamos mostrar, a partir das definições, que o rotor do produto escalar-por-vetor satisfaz a fórmula acima.

Passo 2

Definições e notação que vamos usar (explico cada coisa):
  • Escrevemos \vec{u}=(u_x,u_y,u_z), onde u_x,u_y,u_z são funções de (x,y,z).
  • O gradiente de f é
\vec{\nabla}f=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z}\right).
Isto significa que cada componente é a derivada parcial de f em relação àquela variável.
  • O rotor (curl) de um campo vetorial \vec{v}=(v_x,v_y,v_z) é definido por componentes como
\vec{\nabla}\times\vec{v}=\Big(\frac{\partial v_z}{\partial y}-\frac{\partial v_y}{\partial z},\;\frac{\partial v_x}{\partial z}-\frac{\partial v_z}{\partial x},\;\frac{\partial v_y}{\partial x}-\frac{\partial v_x}{\partial y}\Big).
  • A regra do produto para derivadas parciais: para funções f e g,
\frac{\partial}{\partial x}(fg)=\frac{\partial f}{\partial x}g+f\frac{\partial g}{\partial x},
e análogas para \partial/\partial y e \partial/\partial z.
  • O produto vetorial tem componentes, por exemplo,
(\vec{a}\times\vec{b})_x=a_y b_z-a_z b_y.
Vou usar essas definições para provar a identidade componente a componente.

Passo 3

Calculemos o componente x de \vec{\nabla}\times(f\vec{u}). Primeiro f\vec{u}=(f u_x,f u_y,f u_z). Pela definição do rotor,
\big(\vec{\nabla}\times(f\vec{u})\big)_x=\frac{\partial}{\partial y}(f u_z)-\frac{\partial}{\partial z}(f u_y).
Aplicando a regra do produto nas derivadas parciais:
\frac{\partial}{\partial y}(f u_z)=\frac{\partial f}{\partial y}u_z+f\frac{\partial u_z}{\partial y},
\frac{\partial}{\partial z}(f u_y)=\frac{\partial f}{\partial z}u_y+f\frac{\partial u_y}{\partial z}.
Subtraindo,
\big(\vec{\nabla}\times(f\vec{u})\big)_x = \Big(\frac{\partial f}{\partial y}u_z+f\frac{\partial u_z}{\partial y}\Big) - \Big(\frac{\partial f}{\partial z}u_y+f\frac{\partial u_y}{\partial z}\Big).
Agrupando termos:
\big(\vec{\nabla}\times(f\vec{u})\big)_x = f\Big(\frac{\partial u_z}{\partial y}-\frac{\partial u_y}{\partial z}\Big) + \Big(\frac{\partial f}{\partial y}u_z-\frac{\partial f}{\partial z}u_y\Big).

Passo 4

Interprete os dois termos do resultado do passo anterior:
  • O primeiro termo é f vezes a componente x do rotor de \vec{u}, isto é
f\Big(\frac{\partial u_z}{\partial y}-\frac{\partial u_y}{\partial z}\Big)=\big(f\,\vec{\nabla}\times\vec{u}\big)_x.
  • O segundo termo é exatamente a componente x do produto vetorial \vec{\nabla}f\times\vec{u}, porque
\big(\vec{\nabla}f\times\vec{u}\big)_x=\frac{\partial f}{\partial y}u_z-\frac{\partial f}{\partial z}u_y.
Portanto juntando,
\big(\vec{\nabla}\times(f\vec{u})\big)_x=\big(f\,\vec{\nabla}\times\vec{u}\big)_x+\big(\vec{\nabla}f\times\vec{u}\big)_x.

Passo 5

Façamos o mesmo para a componente y. Pela definição,
\big(\vec{\nabla}\times(f\vec{u})\big)_y=\frac{\partial}{\partial z}(f u_x)-\frac{\partial}{\partial x}(f u_z).
Aplicando a regra do produto,
\frac{\partial}{\partial z}(f u_x)=\frac{\partial f}{\partial z}u_x+f\frac{\partial u_x}{\partial z},
\frac{\partial}{\partial x}(f u_z)=\frac{\partial f}{\partial x}u_z+f\frac{\partial u_z}{\partial x}.
Subtraindo e agrupando:
\big(\vec{\nabla}\times(f\vec{u})\big)_y = f\Big(\frac{\partial u_x}{\partial z}-\frac{\partial u_z}{\partial x}\Big) + \Big(\frac{\partial f}{\partial z}u_x-\frac{\partial f}{\partial x}u_z\Big).
Reconhecemos o primeiro termo como \big(f\,\vec{\nabla}\times\vec{u}\big)_y e o segundo como \big(\vec{\nabla}f\times\vec{u}\big)_y. Logo
\big(\vec{\nabla}\times(f\vec{u})\big)_y=\big(f\,\vec{\nabla}\times\vec{u}\big)_y+\big(\vec{\nabla}f\times\vec{u}\big)_y.

Passo 6

Agora a componente z:
\big(\vec{\nabla}\times(f\vec{u})\big)_z=\frac{\partial}{\partial x}(f u_y)-\frac{\partial}{\partial y}(f u_x).
Usando a regra do produto,
\frac{\partial}{\partial x}(f u_y)=\frac{\partial f}{\partial x}u_y+f\frac{\partial u_y}{\partial x},
\frac{\partial}{\partial y}(f u_x)=\frac{\partial f}{\partial y}u_x+f\frac{\partial u_x}{\partial y}.
Subtraindo e agrupando:
\big(\vec{\nabla}\times(f\vec{u})\big)_z = f\Big(\frac{\partial u_y}{\partial x}-\frac{\partial u_x}{\partial y}\Big) + \Big(\frac{\partial f}{\partial x}u_y-\frac{\partial f}{\partial y}u_x\Big).
Novamente o primeiro termo é \big(f\,\vec{\nabla}\times\vec{u}\big)_z e o segundo é \big(\vec{\nabla}f\times\vec{u}\big)_z. Então
\big(\vec{\nabla}\times(f\vec{u})\big)_z=\big(f\,\vec{\nabla}\times\vec{u}\big)_z+\big(\vec{\nabla}f\times\vec{u}\big)_z.

Passo 7

Como cada componente x,y,z satisfaz
\big(\vec{\nabla}\times(f\vec{u})\big)_i=\big(f\,\vec{\nabla}\times\vec{u}\big)_i+\big(\vec{\nabla}f\times\vec{u}\big)_i,
concluímos a identidade vetorial completa:
\vec{\nabla}\times(f\vec{u})=f\,\vec{\nabla}\times\vec{u}+\vec{\nabla}f\times\vec{u}.
Observação útil: como \vec{a}\times\vec{b}=-\vec{b}\times\vec{a}, a forma pode ser reescrita também como
\vec{\nabla}\times(f\vec{u})=f\,\vec{\nabla}\times\vec{u}-\vec{u}\times\vec{\nabla}f.

Passo 8

Pequena verificação numérica simples (exemplo para fixar a ideia):
  • Tome f(x,y,z)=x e \vec{u}=(0,y,0).
  • Então f\vec{u}=(0,xy,0). Calculando o rotor diretamente dá \vec{\nabla}\times(f\vec{u})=(0,0,\partial(0)/\partial x-\partial(xy)/\partial y)=(0,0,-x).
  • Pelas fórmulas: \vec{\nabla}f=(1,0,0), \vec{\nabla}\times\vec{u}=(0,0,0), então
f\,\vec{\nabla}\times\vec{u}+\vec{\nabla}f\times\vec{u}=(0,0,0)+(1,0,0)\times(0,y,0)=(0,0,-x),
que coincide com o cálculo direto. Isso confirma na prática a identidade.

Resposta

\displaystyle \vec{\nabla}\times(f\vec{u})=f\,\vec{\nabla}\times\vec{u}+\vec{\nabla}f\times\vec{u}

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