Qual o valor de f: D_{f} \rightarrow \mathbb{R}, onde D_{f}=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x^{2}+y^{2} \neq 1\right\}, dada por
f(x, y)=\frac{x^{4}+2 x^{2} y^{2}+y^{4}}{\left(1-x^{2}-y^{2}\right)^{3}}
nos pontos do círculo x^{2}+y^{2}=r^{2} ?

Passo 1

O enunciado dá a função f: D_{f}\to\mathbb{R} com domínio
D_{f}=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}+y^{2}\neq 1\}
e define
f(x,y)=\frac{x^{4}+2x^{2}y^{2}+y^{4}}{\left(1-x^{2}-y^{2}\right)^{3}}.
Pede-se: qual é o valor de f nos pontos do círculo dado por x^{2}+y^{2}=r^{2}. Dados relevantes listados:
  • a equação do círculo: x^{2}+y^{2}=r^{2};
  • a expressão de f(x,y) (numerador e denominador explícitos);
  • a restrição do domínio: x^{2}+y^{2}\neq 1 (portanto pontos com r^{2}=1 não pertencem ao domínio).

Passo 2

Vou simplificar o numerador usando uma identidade algébrica básica. Lembra daquela fórmula do quadrado da soma? Para quaisquer números a e b temos
(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.
Aqui podemos identificar a=x^{2} e b=y^{2}. Aplicando a identidade:
(x^{2}+y^{2})^{2}=x^{4}+2x^{2}y^{2}+y^{4}.
Logo o numerador da função é exatamente o quadrado de x^{2}+y^{2}.

Passo 3

Substituímos a simplificação do numerador na expressão de f. Assim
f(x,y)=\frac{(x^{2}+y^{2})^{2}}{\left(1-x^{2}-y^{2}\right)^{3}}.
Isto já mostra que f depende apenas da soma x^{2}+y^{2} (ou seja, é radial): pontos com a mesma soma x^{2}+y^{2} têm o mesmo valor de f.

Passo 4

Agora imponho a condição do círculo x^{2}+y^{2}=r^{2}. Substituindo nesta expressão radial:
(x^{2}+y^{2})^{2}=r^{4}
e
\left(1-x^{2}-y^{2}\right)^{3}=(1-r^{2})^{3}.

Passo 5

Portanto, para qualquer ponto do círculo x^{2}+y^{2}=r^{2} (desde que o ponto pertença ao domínio), o valor de f é
f=\frac{r^{4}}{(1-r^{2})^{3}}.
Aqui é importante lembrar a restrição de domínio: só podemos usar essa fórmula quando r^{2}\neq 1, pois quando r^{2}=1 o denominador é zero e os pontos do círculo não pertencem a D_{f}.

Passo 6

Interpretações rápidas (úteis para a prova):
  • Se r=0 então f=0.
  • Se 0<r^{2}<1 então 1-r^{2}>0 e f>0.
  • Se r^{2}>1 então 1-r^{2}<0 e, como a potência é cúbica, (1-r^{2})^{3}<0, logo f<0.
  • À medida que r^{2}\to 1^{-} tem-se f\to +\infty e quando r^{2}\to 1^{+} tem-se f\to -\infty. Isso mostra comportamento assintótico na fronteira do domínio.

Resposta

\displaystyle \frac{r^{4}}{(1-r^{2})^{3}}, com r^{2}\neq 1.

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