Qual o valor de
, onde
, dada por
nos pontos do círculo
?
Passo 1
O enunciado dá a função
com domínio
e define
Pede-se: qual é o valor de
nos pontos do círculo dado por
. Dados relevantes listados:
- a equação do círculo:
; - a expressão de
(numerador e denominador explícitos); - a restrição do domínio:
(portanto pontos com não pertencem ao domínio).
Passo 2
Vou simplificar o numerador usando uma identidade algébrica básica. Lembra daquela fórmula do quadrado da soma? Para quaisquer números
e
temos
Aqui podemos identificar
e
. Aplicando a identidade:
Logo o numerador da função é exatamente o quadrado de
.
Passo 3
Substituímos a simplificação do numerador na expressão de
. Assim
Isto já mostra que
depende apenas da soma
(ou seja, é radial): pontos com a mesma soma
têm o mesmo valor de
.
Passo 4
Agora imponho a condição do círculo
. Substituindo nesta expressão radial:
e
Passo 5
Portanto, para qualquer ponto do círculo
(desde que o ponto pertença ao domínio), o valor de
é
Aqui é importante lembrar a restrição de domínio: só podemos usar essa fórmula quando
, pois quando
o denominador é zero e os pontos do círculo não pertencem a
.
Passo 6
Interpretações rápidas (úteis para a prova):
- Se
então . - Se
então e . - Se
então e, como a potência é cúbica, , logo . - À medida que
tem-se e quando tem-se . Isso mostra comportamento assintótico na fronteira do domínio.