Questão 1. (Bussab, adaptada) Uma amostra de 20 funcionários de uma empresa apresentou os seguintes tempos de serviço (em anos): 2, 5, 7, 8, 10, 11, 12, 12,
.
(a) Construa uma tabela de distribuição de frequências (absoluta, relativa e acumulada) agrupando os dados em classes de amplitude 5, começando por 0.
(b) Calcule a média, a mediana e a moda da distribuição não agrupada.
(c) Qual é a amplitude total dos dados?
(a) Construa uma tabela de distribuição de frequências (absoluta, relativa e acumulada) agrupando os dados em classes de amplitude 5, começando por 0.
(b) Calcule a média, a mediana e a moda da distribuição não agrupada.
(c) Qual é a amplitude total dos dados?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
Dados (amostra com
tempos de serviço, em anos), em ordem crescente (peguei os números do enunciado):
O enunciado pede:
(a) Construir uma tabela de distribuição de frequências (absoluta, relativa e acumulada) agrupando os dados em classes de amplitude , começando por
.
(b) Calcular a média, a mediana e a moda da distribuição não agrupada (ou seja, usando os dados originais).
(c) Calcular a amplitude total dos dados (alcance / range).
(a) Construir uma tabela de distribuição de frequências (absoluta, relativa e acumulada) agrupando os dados em classes de amplitude
(b) Calcular a média, a mediana e a moda da distribuição não agrupada (ou seja, usando os dados originais).
(c) Calcular a amplitude total dos dados (alcance / range).
Passo 2
Definição das classes e convenção de inclusão
- Vou usar classes de amplitude
começando em . Adoto a convenção “limite inferior inclusive, limite superior exclusivo”, exceto na última classe que inclui o limite superior final. Assim as classes são:
Contagem das observações por classe (vou atribuir cada valor à classe que contém esse número sob a convenção acima):
-
: contém → frequência absoluta . -
: contém → . -
: contém → . -
: contém → . -
: contém → . -
: contém → . -
: contém → .
Confiro a soma:
, que é
. OK.
Cálculo das frequências relativas e acumuladas
-
Frequência relativa de cada classe:
com . -
. -
. -
. -
. -
. -
. -
.
-
-
Frequências absolutas acumuladas
e relativas acumuladas : - Para
: , . - Para
: , . - Para
: , . - Para
: , . - Para
: , . - Para
: , . - Para
: , .
- Para
Resumo em forma de tabela (cada linha: classe — frequência absoluta — frequência relativa — absoluta acumulada — relativa acumulada)
Passo 3
Cálculo da média (distribuição não agrupada)
- Fórmula: a média amostral é
, onde são as observações e o tamanho da amostra. - Vou somar todas as observações (faço soma passo a passo para você conseguir reproduzir sem calculadora):
Soma total . - Logo
Interpretação rápida: o tempo médio de serviço na amostra é
anos.
Passo 4
Cálculo da mediana (distribuição não agrupada)
- Definição: a mediana é o valor que divide a amostra ordenada em duas metades. Para
par, a mediana é a média aritmética entre as observações nas posições e . - Aqui
(par). Então as posições são e . - Observações ordenadas (índices):
- Os valores nas posições
e são ambos . Assim
Passo 5
Cálculo da moda (distribuição não agrupada)
- Definição: moda é o(s) valor(es) que ocorre(m) com maior frequência na amostra.
- Conto as repetições dos valores (lista curta de contagens):
- Os valores com maior frequência são
e , cada um ocorrendo vezes. Portanto a amostra é bimodal: modos e .
Passo 6
Cálculo da amplitude total (range)
- Definição: amplitude total
. - Aqui
e . Logo
Resposta
(a) Tabela de frequências (classes de amplitude
, começando em
):
(b) Média
\
Mediana \
Moda e
(bimodal)
Mediana
Moda
(c) Amplitude total
]