Questão 1. (Bussab, adaptada) Uma amostra de 20 funcionários de uma empresa apresentou os seguintes tempos de serviço (em anos): 2, 5, 7, 8, 10, 11, 12, 12, 13,15,15,16,18,20,21,22,25,28,30,32.
(a) Construa uma tabela de distribuição de frequências (absoluta, relativa e acumulada) agrupando os dados em classes de amplitude 5, começando por 0.
(b) Calcule a média, a mediana e a moda da distribuição não agrupada.
(c) Qual é a amplitude total dos dados?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
Dados (amostra com n=20 tempos de serviço, em anos), em ordem crescente (peguei os números do enunciado):
2,\;5,\;7,\;8,\;10,\;11,\;12,\;12,\;13,\;15,\;15,\;16,\;18,\;20,\;21,\;22,\;25,\;28,\;30,\;32.
O enunciado pede:
(a) Construir uma tabela de distribuição de frequências (absoluta, relativa e acumulada) agrupando os dados em classes de amplitude 5, começando por 0.
(b) Calcular a média, a mediana e a moda da distribuição não agrupada (ou seja, usando os dados originais).
(c) Calcular a amplitude total dos dados (alcance / range).

Passo 2

Definição das classes e convenção de inclusão
  • Vou usar classes de amplitude 5 começando em 0. Adoto a convenção “limite inferior inclusive, limite superior exclusivo”, exceto na última classe que inclui o limite superior final. Assim as classes são:
[0,5),\;[5,10),\;[10,15),\;[15,20),\;[20,25),\;[25,30),\;[30,35).
Contagem das observações por classe (vou atribuir cada valor à classe que contém esse número sob a convenção acima):
  • [0,5): contém 2 → frequência absoluta f_1=1.
  • [5,10): contém 5,7,8 f_2=3.
  • [10,15): contém 10,11,12,12,13 f_3=5.
  • [15,20): contém 15,15,16,18 f_4=4.
  • [20,25): contém 20,21,22 f_5=3.
  • [25,30): contém 25,28 f_6=2.
  • [30,35): contém 30,32 f_7=2.
Confiro a soma: 1+3+5+4+3+2+2=20, que é n. OK.
Cálculo das frequências relativas e acumuladas
  • Frequência relativa de cada classe: f_i^{(rel)} = \dfrac{f_i}{n} com n=20.
    • f_1^{(rel)}=\dfrac{1}{20}=0,05.
    • f_2^{(rel)}=\dfrac{3}{20}=0,15.
    • f_3^{(rel)}=\dfrac{5}{20}=0,25.
    • f_4^{(rel)}=\dfrac{4}{20}=0,20.
    • f_5^{(rel)}=\dfrac{3}{20}=0,15.
    • f_6^{(rel)}=\dfrac{2}{20}=0,10.
    • f_7^{(rel)}=\dfrac{2}{20}=0,10.
  • Frequências absolutas acumuladas F_i e relativas acumuladas F_i^{(rel)}:
    • Para [0,5): F_1=1, F_1^{(rel)}=0,05.
    • Para [5,10): F_2=1+3=4, F_2^{(rel)}=0,05+0,15=0,20.
    • Para [10,15): F_3=4+5=9, F_3^{(rel)}=0,20+0,25=0,45.
    • Para [15,20): F_4=9+4=13, F_4^{(rel)}=0,45+0,20=0,65.
    • Para [20,25): F_5=13+3=16, F_5^{(rel)}=0,65+0,15=0,80.
    • Para [25,30): F_6=16+2=18, F_6^{(rel)}=0,80+0,10=0,90.
    • Para [30,35): F_7=18+2=20, F_7^{(rel)}=0,90+0,10=1,00.
Resumo em forma de tabela (cada linha: classe — frequência absoluta — frequência relativa — absoluta acumulada — relativa acumulada)
\begin{array}{lrrrr} \text{Classe} & f_i & f_i^{(rel)} & F_i & F_i^{(rel)}\\[4pt] [0,5) & 1 & 0,05 & 1 & 0,05\\\ [5,10) & 3 & 0,15 & 4 & 0,20\\\ [10,15) & 5 & 0,25 & 9 & 0,45\\\ [15,20) & 4 & 0,20 & 13 & 0,65\\\ [20,25) & 3 & 0,15 & 16 & 0,80\\\ [25,30) & 2 & 0,10 & 18 & 0,90\\\ [30,35) & 2 & 0,10 & 20 & 1,00 \end{array}]

Passo 3

Cálculo da média (distribuição não agrupada)
  • Fórmula: a média amostral é \displaystyle \bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i, onde x_i são as observações e n o tamanho da amostra.
  • Vou somar todas as observações (faço soma passo a passo para você conseguir reproduzir sem calculadora): \begin{aligned} &2+5=7,\\\ &7+7=14,\\\ &14+8=22,\\\ &22+10=32,\\\ &32+11=43,\\\ &43+12=55,\\\ &55+12=67,\\\ &67+13=80,\\\ &80+15=95,\\\ &95+15=110,\\\ &110+16=126,\\\ &126+18=144,\\\ &144+20=164,\\\ &164+21=185,\\\ &185+22=207,\\\ &207+25=232,\\\ &232+28=260,\\\ &260+30=290,\\\ &290+32=322. \end{aligned}Soma total \displaystyle \sum_{i=1}^{20} x_i = 322.
  • Logo \bar{x}=\frac{322}{20}=16,1.
Interpretação rápida: o tempo médio de serviço na amostra é \,16,1 anos.

Passo 4

Cálculo da mediana (distribuição não agrupada)
  • Definição: a mediana é o valor que divide a amostra ordenada em duas metades. Para n par, a mediana é a média aritmética entre as observações nas posições n/2 e n/2+1.
  • Aqui n=20 (par). Então as posições são 10 e 11.
  • Observações ordenadas (índices): \begin{array}{l} 1:2,\;2:5,\;3:7,\;4:8,\;5:10,\;6:11,\;7:12,\;8:12,\;9:13,\\\\ 10:15,\;11:15,\;12:16,\;13:18,\;14:20,\;15:21,\;16:22,\\\\ 17:25,\;18:28,\;19:30,\;20:32. \end{array}
  • Os valores nas posições 10 e 11 são ambos 15. Assim \text{mediana} = \frac{15+15}{2}=15.

Passo 5

Cálculo da moda (distribuição não agrupada)
  • Definição: moda é o(s) valor(es) que ocorre(m) com maior frequência na amostra.
  • Conto as repetições dos valores (lista curta de contagens): \begin{aligned} 2&\\ (1\\ \text{vez}),\;5\\ (1),\;7\\ (1),\;8\\ (1),\;10\\ (1),\;11\\ (1),\\\\ 12&\\ (2),\;13\\ (1),\;15\\ (2),\;16\\ (1),\;18\\ (1),\;20\\ (1),\\\\ 21&\\ (1),\;22\\ (1),\;25\\ (1),\;28\\ (1),\;30\\ (1),\;32\\ (1). \end{aligned}
  • Os valores com maior frequência são 12 e 15, cada um ocorrendo 2 vezes. Portanto a amostra é bimodal: modos 12 e 15.

Passo 6

Cálculo da amplitude total (range)
  • Definição: amplitude total = \max(x_i) - \min(x_i).
  • Aqui \min=2 e \max=32. Logo \text{amplitude total} = 32 - 2 = 30.

Resposta

(a) Tabela de frequências (classes de amplitude 5, começando em 0):
\begin{array}{lrrrr} \text{Classe} & f_i & f_i^{(rel)} & F_i & F_i^{(rel)}\\[4pt] [0,5) & 1 & 0,05 & 1 & 0,05\\\ [5,10) & 3 & 0,15 & 4 & 0,20\\\ [10,15) & 5 & 0,25 & 9 & 0,45\\\ [15,20) & 4 & 0,20 & 13 & 0,65\\\ [20,25) & 3 & 0,15 & 16 & 0,80\\\ [25,30) & 2 & 0,10 & 18 & 0,90\\\ [30,35) & 2 & 0,10 & 20 & 1,00 \end{array}
(b) Média \bar{x}=16,1 \
Mediana =15 \
Moda =12 e 15 (bimodal)
(c) Amplitude total =30]

Exercícios relacionados