Questão 4. (Morettin) Para duas variáveis X e Y, sabe-se que: \sum x_{i}=40, \sum y_{i}=60, \sum x_{i}^{2}=200, \sum y_{i}^{2}=500 e \sum x_{i} y_{i}=230. Todas as somas são para n=10 observações.
(a) Calcule a covariância entre X e Y.
(b) Calcule o coeficiente de correlação linear de Pearson.
(c) Interprete o valor encontrado na letra (b).

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados (todas as somas para n=10 observações):
\sum x_i = 40,\qquad \sum y_i = 60,\qquad \sum x_i^2 = 200,\qquad \sum y_i^2 = 500,\qquad \sum x_i y_i = 230,
e pede três coisas:
(a) calcular a covariância entre X e Y;
(b) calcular o coeficiente de correlação linear de Pearson;
(c) interpretar o valor obtido em (b).

Passo 2

Primeiro calculamos as médias amostrais de X e Y. A média amostral \bar x é definida por
\bar x=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i,
e analogamente para \bar y. Substituindo os valores dados:
\bar x=\frac{40}{10}=4,\qquad \bar y=\frac{60}{10}=6.
Explicação didática: a média é o centro dos dados — soma-se tudo e divide-se pelo número de observações. Aqui ficou \bar x=4 e \bar y=6.

Passo 3

Agora a covariância amostral. A soma dos produtos centrados é
\sum_{i=1}^n (x_i-\bar x)(y_i-\bar y)=\sum_{i=1}^n x_i y_i - n\bar x\bar y.
Justificativa rápida dessa identidade: multiplicando (x_i-\bar x)(y_i-\bar y) e somando, os termos com \bar x e \bar y reduzem-se a -n\bar x\bar y ao somar, ficando \sum x_i y_i - \bar x\sum y_i - \bar y\sum x_i + n\bar x\bar y e, usando \sum x_i=n\bar x, \sum y_i=n\bar y, resulta na forma acima.
A covariância amostral (não viesada) é definida por
S_{XY}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar x)(y_i-\bar y).
Substituindo os números:
\sum_{i=1}^n (x_i-\bar x)(y_i-\bar y)=\sum x_i y_i - n\bar x\bar y = 230 - 10\cdot 4\cdot 6 = 230 - 240 = -10.
Portanto
S_{XY}=\frac{-10}{n-1}=\frac{-10}{9} \approx -1,111\ldots
Interpretação curta da fórmula: S_{XY} mede o quanto X e Y variam juntos; sinal negativo indica tendência que, quando X está acima da sua média, Y tende a estar abaixo da sua média, e vice-versa.

Passo 4

Precisamos das variâncias amostrais e dos desvios-padrão amostrais para construir o coeficiente de correlação. A variância amostral de X é
S_X^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar x)^2=\frac{1}{n-1}\Big(\sum x_i^2 - n\bar x^2\Big).
Aplicando os números:
\sum x_i^2 - n\bar x^2 = 200 - 10\cdot 4^2 = 200 - 160 = 40,
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S_X^2=\frac{40}{9}\quad\Rightarrow\quad S_X=\sqrt{\frac{40}{9}}=\frac{\sqrt{40}}{3}\approx 2,1083.
Analogamente para Y:
\sum y_i^2 - n\bar y^2 = 500 - 10\cdot 6^2 = 500 - 360 = 140,
S_Y^2=\frac{140}{9}\quad\Rightarrow\quad S_Y=\sqrt{\frac{140}{9}}=\frac{\sqrt{140}}{3}\approx 3,9441.
Explicação: a variância amostral mede a dispersão dos dados em torno da média; o desvio-padrão é a raiz quadrada da variância e tem as mesmas unidades das observações.

Passo 5

Definição do coeficiente de correlação linear de Pearson (amostral):
r=\frac{S_{XY}}{S_X S_Y}.
Substituindo os valores já calculados:
r=\frac{-\tfrac{10}{9}}{\sqrt{\tfrac{40}{9}}\;\sqrt{\tfrac{140}{9}}} =\frac{-\tfrac{10}{9}}{\tfrac{1}{9}\sqrt{40\cdot 140}} =-\frac{10}{\sqrt{5600}}.
Calculando numericamente:
r\approx -0,1337\quad(\text{aproximadamente}).
Observação de cálculo: usei a propriedade \sqrt{a/9}\sqrt{b/9}=\tfrac{1}{9}\sqrt{ab} para simplificar. Também é comum calcular r diretamente como S_{XY}/(S_X S_Y) com os valores numéricos: -1,111\ldots/(2,1083\cdot 3,9441)\approx -0,1337.

Passo 6

Interpretação do valor de r (letra (c)), com nota didática:
  • O sinal negativo de r indica associação linear negativa: em média, valores maiores de X tendem a acompanhar valores menores de Y.
  • O módulo |r|\approx 0,1337 é pequeno, o que significa uma correlação linear fraca. Em termos práticos, há pouca relação linear entre X e Y.
  • Uma medida relacionada é o coeficiente de determinação r^2\approx 0,0179 (ou seja, cerca de 1,79\%), que indica que aproximadamente 1,8\% da variabilidade de Y pode ser explicada por uma regressão linear simples em X — muito pouco.
  • Aviso prático: correlação não implica causalidade; e com n=10 qualquer conclusão sobre significância estatística exigiria um teste (não pedido aqui). Em resumo: existe uma tendência linear negativa muito fraca entre X e Y.

Resposta

(a) S_{XY}=-\dfrac{10}{9}\approx -1,111
(b) r\approx -0,1337
(c) Correlação linear fraca e negativa; o sinal negativo indica que Y tende a diminuir quando X aumenta, mas o valor absoluto pequeno ( |r|\approx0,13) mostra que a associação linear é muito fraca ( r^2\approx0,0179, ou cerca de 1,8\% da variabilidade explicada).

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