Questão 4. (Morettin) Para duas variáveis
e
, sabe-se que:
,
e
. Todas as somas são para
observações.
(a) Calcule a covariância entre
e
.
(b) Calcule o coeficiente de correlação linear de Pearson.
(c) Interprete o valor encontrado na letra (b).
(a) Calcule a covariância entre
(b) Calcule o coeficiente de correlação linear de Pearson.
(c) Interprete o valor encontrado na letra (b).
Passo 1
O enunciado fornece os seguintes dados (todas as somas para
observações):
e pede três coisas:
(a) calcular a covariância entre e
;
(b) calcular o coeficiente de correlação linear de Pearson;
(c) interpretar o valor obtido em (b).
(a) calcular a covariância entre
(b) calcular o coeficiente de correlação linear de Pearson;
(c) interpretar o valor obtido em (b).
Passo 2
Primeiro calculamos as médias amostrais de
e
. A média amostral
é definida por
e analogamente para
. Substituindo os valores dados:
Explicação didática: a média é o centro dos dados — soma-se tudo e divide-se pelo número de observações. Aqui ficou
e
.
Passo 3
Agora a covariância amostral. A soma dos produtos centrados é
Justificativa rápida dessa identidade: multiplicando
e somando, os termos com
e
reduzem-se a
ao somar, ficando
e, usando
,
, resulta na forma acima.
A covariância amostral (não viesada) é definida por
Substituindo os números:
Portanto
Interpretação curta da fórmula:
mede o quanto
e
variam juntos; sinal negativo indica tendência que, quando
está acima da sua média,
tende a estar abaixo da sua média, e vice-versa.
Passo 4
Precisamos das variâncias amostrais e dos desvios-padrão amostrais para construir o coeficiente de correlação. A variância amostral de
é
Aplicando os números:
logo
Analogamente para
:
Explicação: a variância amostral mede a dispersão dos dados em torno da média; o desvio-padrão é a raiz quadrada da variância e tem as mesmas unidades das observações.
Passo 5
Definição do coeficiente de correlação linear de Pearson (amostral):
Substituindo os valores já calculados:
Calculando numericamente:
Observação de cálculo: usei a propriedade
para simplificar. Também é comum calcular
diretamente como
com os valores numéricos:
.
Passo 6
Interpretação do valor de
(letra (c)), com nota didática:
- O sinal negativo de
indica associação linear negativa: em média, valores maiores de tendem a acompanhar valores menores de . - O módulo
é pequeno, o que significa uma correlação linear fraca. Em termos práticos, há pouca relação linear entre e . - Uma medida relacionada é o coeficiente de determinação
(ou seja, cerca de ), que indica que aproximadamente da variabilidade de pode ser explicada por uma regressão linear simples em — muito pouco. - Aviso prático: correlação não implica causalidade; e com
qualquer conclusão sobre significância estatística exigiria um teste (não pedido aqui). Em resumo: existe uma tendência linear negativa muito fraca entre e .
Resposta
(a)
(b)
(c) Correlação linear fraca e negativa; o sinal negativo indica que
tende a diminuir quando
aumenta, mas o valor absoluto pequeno (
) mostra que a associação linear é muito fraca (
, ou cerca de
da variabilidade explicada).