Questão 11. (Bussab) Num lote de 12 peças, 4 são defeituosas. São retiradas 3 peças aleatoriamente, sem reposição. Qual é a probabilidade de que:
Pelo menos uma seja defeituosa?
Pelo menos uma seja defeituosa?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- Total de peças:
. - Peças defeituosas:
. - Peças não defeituosas:
. - Número de peças retiradas aleatoriamente, sem reposição:
.
O que o problema pede:
- A probabilidade de que, entre as
peças retiradas, haja pelo menos uma peça defeituosa.
Passo 2
Estratégia escolhida (explicação didática): é mais simples calcular o complemento. “Pelo menos uma defeituosa” é o evento complementar de “nenhuma defeituosa” (ou seja, todas as 3 são não defeituosas). Então:
Agora explico a contagem combinatória que vamos usar.
No contexto de retiradas sem reposição, as probabilidades podem ser calculadas contando combinações (sem ordem). A quantidade total de maneiras de escolher
peças entre
é dada pelo coeficiente binomial
onde
(fatorial) significa
. Esse número conta as escolhas possíveis de 3 peças sem considerar ordem.
O número de maneiras de escolher
peças todas não defeituosas é o número de maneiras de escolher
entre as
não defeituosas:
Portanto
Passo 3
Calcular o total de escolhas
. Usando a definição:
Passo 4
Calcular as escolhas sem defeituosas
:
Passo 5
Calcular
:
Simplificando a fração dividindo numerador e denominador por
:
Passo 6
Obter a probabilidade desejada pelo complemento:
Como verificação rápida, isso equivale aproximadamente a
(ou seja, cerca de
).