Questão 11. (Bussab) Num lote de 12 peças, 4 são defeituosas. São retiradas 3 peças aleatoriamente, sem reposição. Qual é a probabilidade de que:
Pelo menos uma seja defeituosa?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Total de peças: 12.
  • Peças defeituosas: 4.
  • Peças não defeituosas: 12-4=8.
  • Número de peças retiradas aleatoriamente, sem reposição: 3.
O que o problema pede:
  • A probabilidade de que, entre as 3 peças retiradas, haja pelo menos uma peça defeituosa.

Passo 2

Estratégia escolhida (explicação didática): é mais simples calcular o complemento. “Pelo menos uma defeituosa” é o evento complementar de “nenhuma defeituosa” (ou seja, todas as 3 são não defeituosas). Então:
P(\text{pelo menos 1 defeituosa}) = 1 - P(\text{nenhuma defeituosa}).
Agora explico a contagem combinatória que vamos usar.
No contexto de retiradas sem reposição, as probabilidades podem ser calculadas contando combinações (sem ordem). A quantidade total de maneiras de escolher 3 peças entre 12 é dada pelo coeficiente binomial
\binom{12}{3}=\frac{12!}{3!(12-3)!},
onde n! (fatorial) significa n!=n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot1. Esse número conta as escolhas possíveis de 3 peças sem considerar ordem.
O número de maneiras de escolher 3 peças todas não defeituosas é o número de maneiras de escolher 3 entre as 8 não defeituosas:
\binom{8}{3}.
Portanto
P(\text{nenhuma defeituosa})=\frac{\binom{8}{3}}{\binom{12}{3}}.

Passo 3

Calcular o total de escolhas \binom{12}{3}. Usando a definição:
\binom{12}{3}=\frac{12\cdot11\cdot10}{3\cdot2\cdot1}= \frac{1320}{6}=220.

Passo 4

Calcular as escolhas sem defeituosas \binom{8}{3}:
\binom{8}{3}=\frac{8\cdot7\cdot6}{3\cdot2\cdot1}=\frac{336}{6}=56.

Passo 5

Calcular P(\text{nenhuma defeituosa}):
P(\text{nenhuma defeituosa})=\frac{\binom{8}{3}}{\binom{12}{3}}=\frac{56}{220}.
Simplificando a fração dividindo numerador e denominador por 4:
\frac{56}{220}=\frac{14}{55}.

Passo 6

Obter a probabilidade desejada pelo complemento:
P(\text{pelo menos 1 defeituosa})=1-\frac{14}{55}=\frac{55}{55}-\frac{14}{55}=\frac{41}{55}.
Como verificação rápida, isso equivale aproximadamente a 0,745454\ldots (ou seja, cerca de 74,545\%).

Resposta

\dfrac{41}{55}

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