Questão 9
(c) Identifique a superfície dada pela equação
.
(c) Identifique a superfície dada pela equação
Passo 1
O enunciado dá a equação da superfície em coordenadas cilíndricas e pede para identificá‑la:
Informações relevantes fornecidas: a equação relaciona
,
e
. A tarefa é dizer que superfície no espaço tridimensional essa equação representa.
Passo 2
Relembre as relações entre coordenadas cilíndricas
e coordenadas cartesianas
. Essas relações são fundamentais e muito usadas em provas:
e portanto
Também precisamos de uma identidade trigonométrica útil:
Agora expresse
e
em termos de
e
:
e
. Substituindo isso na identidade acima obtemos uma forma de
em termos de
:
Passo 3
Agora substituímos a expressão de
na equação dada. Começamos com
e usando
temos
As
cancelam, sobrando a forma em coordenadas cartesianas:
Passo 4
Interprete geometricamente a equação encontrada
. Para entender a forma da superfície, é útil olhar cortes (seções) por planos simples:
- Corte por
: substituindo em temos , que é uma parábola voltada para cima no plano . - Corte por
: temos , que é uma parábola voltada para baixo no plano .
Esses dois cortes mostram que em direções ortogonais a superfície se curva para cima e para baixo — característica típica de uma sela.
Passo 5
Olhe também para curvas de nível (planos
):
Para
essas equações representam hipérboles no plano
; para
temos as retas
. Isso confirma que a superfície é um quadriculado do tipo “sela”: curvatura de sinais opostos nas direções
e
.
Passo 6
Conclusão prática e dica para a prova: ao ver termos do tipo
em coordenadas polares/cilíndricas, sempre tente usar a identidade
(ou obter diretamente
e
por
). Assim a conversão costuma simplificar muito e leva à identificação da superfície em coordenadas cartesianas.
Resposta
paraboloide hiperbólico (superfície em sela)