Questão 9
(c) Identifique a superfície dada pela equação r^{2} \cos (2 \theta)=z.

Passo 1

O enunciado dá a equação da superfície em coordenadas cilíndricas e pede para identificá‑la:
r^{2}\cos(2\theta)=z.
Informações relevantes fornecidas: a equação relaciona r, \theta e z. A tarefa é dizer que superfície no espaço tridimensional essa equação representa.

Passo 2

Relembre as relações entre coordenadas cilíndricas (r,\theta,z) e coordenadas cartesianas (x,y,z). Essas relações são fundamentais e muito usadas em provas:
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad z = z,
e portanto
r^{2} = x^{2}+y^{2}.
Também precisamos de uma identidade trigonométrica útil:
\cos(2\theta)=\cos^{2}\theta-\sin^{2}\theta.
Agora expresse \cos\theta e \sin\theta em termos de x e y: \cos\theta=\dfrac{x}{r} e \sin\theta=\dfrac{y}{r}. Substituindo isso na identidade acima obtemos uma forma de \cos(2\theta) em termos de x,y,r:
\cos(2\theta)=\left(\dfrac{x}{r}\right)^{2}-\left(\dfrac{y}{r}\right)^{2}=\dfrac{x^{2}-y^{2}}{r^{2}}.

Passo 3

Agora substituímos a expressão de \cos(2\theta) na equação dada. Começamos com
r^{2}\cos(2\theta)=z,
e usando \cos(2\theta)=\dfrac{x^{2}-y^{2}}{r^{2}} temos
r^{2}\cdot\frac{x^{2}-y^{2}}{r^{2}}=z.
As r^{2} cancelam, sobrando a forma em coordenadas cartesianas:
z = x^{2}-y^{2}.

Passo 4

Interprete geometricamente a equação encontrada \;z=x^{2}-y^{2}\;. Para entender a forma da superfície, é útil olhar cortes (seções) por planos simples:
  • Corte por y=0: substituindo em \;z=x^{2}-y^{2}\; temos \;z=x^{2}\;, que é uma parábola voltada para cima no plano y=0.
  • Corte por x=0: temos \;z=-y^{2}\;, que é uma parábola voltada para baixo no plano x=0.
    Esses dois cortes mostram que em direções ortogonais a superfície se curva para cima e para baixo — característica típica de uma sela.

Passo 5

Olhe também para curvas de nível (planos z=c):
x^{2}-y^{2}=c.
Para c\neq 0 essas equações representam hipérboles no plano z=c; para c=0 temos as retas x=\pm y. Isso confirma que a superfície é um quadriculado do tipo “sela”: curvatura de sinais opostos nas direções x e y.

Passo 6

Conclusão prática e dica para a prova: ao ver termos do tipo r^{2}\cos(2\theta) em coordenadas polares/cilíndricas, sempre tente usar a identidade \cos(2\theta)=\dfrac{x^{2}-y^{2}}{r^{2}} (ou obter diretamente x e y por \cos\theta,\sin\theta). Assim a conversão costuma simplificar muito e leva à identificação da superfície em coordenadas cartesianas.

Resposta

z = x^{2}-y^{2}
paraboloide hiperbólico (superfície em sela)

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