Questão 3. Sendo
e
unitários,
,
ang
, calcule:
Passo 1
O enunciado pergunta para eu calcular o produto escalar
. As informações dadas são:
Isso é tudo o que o enunciado fornece. A pergunta é única: calcular
.
Passo 2
Vou usar propriedades básicas do produto escalar. Importante saber e lembrar:
- Linearidade na primeira componente (e simétrica): para quaisquer vetores
,
Isto significa que posso separar o produto escalar soma-a-soma, um passo útil para somar termos que conheço individualmente.
- Relação com o comprimento e o ângulo: para quaisquer vetores
e ,
Aqui
e
são os comprimentos (normas) dos vetores, e
é o ângulo entre eles.
- Produto escalar de um vetor por ele mesmo dá o quadrado da norma:
- Simetria:
. Então a informação serve também como .
Com essas propriedades, podemos decompor o produto solicitado.
Passo 3
Aplicando a linearidade do produto escalar ao que pedem:
Cada um desses três termos vou calcular separadamente.
Passo 4
Calcular
. Como
é unitário,
. Então, pela propriedade 3,
Passo 5
Calcular
. Usando a fórmula com o ângulo (propriedade 2) e sabendo que
e
,
Lembrando que
, temos
Passo 6
Calcular
. O enunciado deu
. Pelo fato do produto escalar ser simétrico,
(Isto usa diretamente a informação dada.)
Passo 7
Agora somo os três termos já calculados:
Fazendo a conta passo a passo:
. Então
.