Questão 3. Sendo \vec{u} e \vec{v} unitários, |\vec{w}|=4, \overrightarrow{\mathrm{u}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{w}}=-2, \overrightarrow{\mathrm{v}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{w}}=-4 \mathrm{e} ang (\overrightarrow{\mathrm{u}}, \overrightarrow{\mathrm{v}})=\frac{\pi}{3} \mathrm{rad}, calcule:
(\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}) \cdot \vec{u}

Passo 1

O enunciado pergunta para eu calcular o produto escalar (\vec{u}+\vec{v}+\vec{w})\cdot\vec{u}. As informações dadas são:
\begin{aligned} &\vec{u}\\ \text{e}\\ \vec{v}\\ \text{são vetores unitários} \\\ &|\vec{w}|=4 \\\ &\vec{u}\cdot\vec{w}=-2 \\\ &\vec{v}\cdot\vec{w}=-4 \\\ &\operatorname{ang}(\vec{u},\vec{v})=\frac{\pi}{3}\\ \text{rad}. \end{aligned}ãá
Isso é tudo o que o enunciado fornece. A pergunta é única: calcular (\vec{u}+\vec{v}+\vec{w})\cdot\vec{u}.

Passo 2

Vou usar propriedades básicas do produto escalar. Importante saber e lembrar:
  1. Linearidade na primeira componente (e simétrica): para quaisquer vetores \vec{a},\vec{b},\vec{c},
(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})\cdot\vec{u}=\vec{a}\cdot\vec{u}+\vec{b}\cdot\vec{u}+\vec{c}\cdot\vec{u}.
Isto significa que posso separar o produto escalar soma-a-soma, um passo útil para somar termos que conheço individualmente.
  1. Relação com o comprimento e o ângulo: para quaisquer vetores \vec{x} e \vec{y},
\vec{x}\cdot\vec{y}=|\vec{x}|\,|\vec{y}|\cos\big(\operatorname{ang}(\vec{x},\vec{y})\big).
Aqui |\vec{x}| e |\vec{y}| são os comprimentos (normas) dos vetores, e \operatorname{ang}(\vec{x},\vec{y}) é o ângulo entre eles.
  1. Produto escalar de um vetor por ele mesmo dá o quadrado da norma:
\vec{u}\cdot\vec{u}=|\vec{u}|^{2}.
  1. Simetria: \vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{a}. Então a informação \vec{u}\cdot\vec{w}=-2 serve também como \vec{w}\cdot\vec{u}=-2.
Com essas propriedades, podemos decompor o produto solicitado.

Passo 3

Aplicando a linearidade do produto escalar ao que pedem:
(\vec{u}+\vec{v}+\vec{w})\cdot\vec{u}=\vec{u}\cdot\vec{u}+\vec{v}\cdot\vec{u}+\vec{w}\cdot\vec{u}.
Cada um desses três termos vou calcular separadamente.

Passo 4

Calcular \vec{u}\cdot\vec{u}. Como \vec{u} é unitário, |\vec{u}|=1. Então, pela propriedade 3,
\vec{u}\cdot\vec{u}=|\vec{u}|^{2}=1^{2}=1.

Passo 5

Calcular \vec{v}\cdot\vec{u}. Usando a fórmula com o ângulo (propriedade 2) e sabendo que |\vec{u}|=|\vec{v}|=1 e \operatorname{ang}(\vec{u},\vec{v})=\frac{\pi}{3},
\vec{v}\cdot\vec{u}=|\vec{v}|\,|\vec{u}|\cos\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=1\cdot1\cdot\cos\!\left(\frac{\pi}{3}\right).
Lembrando que \cos\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=\tfrac{1}{2}, temos
\vec{v}\cdot\vec{u}=\tfrac{1}{2}.

Passo 6

Calcular \vec{w}\cdot\vec{u}. O enunciado deu \vec{u}\cdot\vec{w}=-2. Pelo fato do produto escalar ser simétrico,
\vec{w}\cdot\vec{u}=\vec{u}\cdot\vec{w}=-2.
(Isto usa diretamente a informação dada.)

Passo 7

Agora somo os três termos já calculados:
(\vec{u}+\vec{v}+\vec{w})\cdot\vec{u}=1+\tfrac{1}{2}+(-2).
Fazendo a conta passo a passo: 1+\tfrac{1}{2}=\tfrac{3}{2}. Então \tfrac{3}{2}-2=\tfrac{3}{2}-\tfrac{4}{2}=-\tfrac{1}{2}.

Resposta

-\tfrac{1}{2}

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