Questão 4- A cada ano, ocorrem 450 mortes acidentais por arma de fogo na faixa etária de 15 24 anos (National Safety Council, Accident Facts,1996).
a) Por semana, qual é o número médio de mortes acidentais por armas de fogo?
b) Em uma semana típica, qual é a probabilidade de não haver nenhuma morte acidental por armas de fogo?
c) Em um dia típico, qual é a probabilidade de duas ou mais mortes acidentais por armas de fogo?

Passo 1

O enunciado dá a informação de que, a cada ano, ocorrem 450 mortes acidentais por arma de fogo na faixa etária de 15–24 anos. As perguntas são três, separadas:
  1. (a) Por semana, qual é o número médio de mortes acidentais por armas de fogo?
  2. (b) Em uma semana típica, qual é a probabilidade de não haver nenhuma morte acidental por armas de fogo?
  3. (c) Em um dia típico, qual é a probabilidade de ocorrerem duas ou mais mortes acidentais por armas de fogo?
Informações relevantes listadas:
  • Número anual médio de mortes: \,450.
  • Vamos precisar usar a relação entre ano, semanas e dias: um ano tem 52 semanas (usaremos 52) e 365 dias (usaremos 365).
  • Nenhuma figura ou tabela adicional foi fornecida.

Passo 2

Antes de calcular, precisamos escolher um modelo de contagem que faça sentido para o enunciado. Vou explicar o raciocínio de forma direta e didática (como se eu estivesse do seu lado na prova):
  • Quando lidamos com “número de ocorrências” (como mortes) que acontecem em unidades de tempo fixas, e quando assumimos que essas ocorrências são relativamente raras, independentes e com taxa média constante no tempo, um modelo muito adequado é o modelo de Poisson.
  • A distribuição de Poisson descreve a probabilidade de ocorrer exatamente k eventos em um intervalo, quando a média (esperança) no intervalo é \lambda. A fórmula da probabilidade é:
P(X=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!}
onde:
  • X é a variável aleatória que conta o número de eventos no intervalo.
  • \lambda é a média (esperança) do número de eventos nesse intervalo.
  • k! é o fatorial de k (por exemplo, 3! = 3\cdot2\cdot1 = 6).
  • Para obter probabilidades em uma semana ou em um dia, primeiro calculamos a média esperada \lambda naquele intervalo (convertendo a taxa anual para semanal ou diária) e então aplicamos a fórmula acima.

Passo 3

Calcular a média semanal. A média anual é 450 mortes por ano. Para passar para semanas, dividimos por 52:
\lambda_{\text{semana}}=\frac{450}{52}
Agora faço a divisão (mostrando passo a passo): 52 cabe em 450 oito vezes (porque 8\cdot52=416), sobra 450-416=34. Para obter a parte decimal, continuamos a divisão e obtemos
\lambda_{\text{semana}}\approx 8{,}653846\ldots
Arredondando de forma prática para a prova, podemos usar \lambda_{\text{semana}}\approx 8{,}65. Esse número é o número médio de mortes por semana.

Passo 4

Resposta da parte (a). A pergunta (a) pede exatamente esse número médio por semana. Então:
\text{Média por semana}=\lambda_{\text{semana}}=\frac{450}{52}\approx 8{,}65.é

Passo 5

Calcular a probabilidade de não haver nenhuma morte numa semana (parte b). Com o modelo de Poisson, a probabilidade de 0 eventos quando a média é \lambda é:
P(X=0)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^{0}}{0!}=e^{-\lambda}\cdot 1 = e^{-\lambda}.
Aqui usamos \lambda=\lambda_{\text{semana}}. Portanto:
P(\text{nenhuma morte na semana})=e^{-\lambda_{\text{semana}}}=e^{-\,\frac{450}{52}}.
Agora avaliamos numericamente. Usando \lambda_{\text{semana}}\approx 8{,}653846,
P(X=0)\approx e^{-8{,}653846}\approx 0{,}000174.
Interpretação rápida: é uma probabilidade muito pequena — com essa média de \approx 8{,}65 mortes por semana, esperar uma semana sem mortes é extremamente improvável.

Passo 6

Calcular a média diária para usar na parte (c). Começamos com 450 mortes por ano e dividimos por 365 dias:
\lambda_{\text{dia}}=\frac{450}{365}.
Fazendo a divisão:
\lambda_{\text{dia}}\approx 1{,}2328767\ldots
Arredondando para a prova, \lambda_{\text{dia}}\approx 1{,}233. Esse é o número médio de mortes por dia.

Passo 7

Calcular a probabilidade de ocorrerem duas ou mais mortes num dia (parte c). Para a variável de Poisson X com média \lambda_{\text{dia}}, queremos
P(X\ge 2)=1-P(X=0)-P(X=1).
Usamos a fórmula da Poisson para k=0 e k=1:
P(X=0)=e^{-\lambda_{\text{dia}}},
P(X=1)=e^{-\lambda_{\text{dia}}}\frac{\lambda_{\text{dia}}^{1}}{1!}=e^{-\lambda_{\text{dia}}}\lambda_{\text{dia}}.
Somando:
P(X=0)+P(X=1)=e^{-\lambda_{\text{dia}}}\bigl(1+\lambda_{\text{dia}}\bigr).
Logo
P(X\ge 2)=1-e^{-\lambda_{\text{dia}}}\bigl(1+\lambda_{\text{dia}}\bigr).
Substituindo \lambda_{\text{dia}}\approx 1{,}2328767:
e^{-\lambda_{\text{dia}}}\approx e^{-1{,}2328767}\approx 0{,}2915,
e^{-\lambda_{\text{dia}}}\bigl(1+\lambda_{\text{dia}}\bigr)\approx 0{,}2915\cdot(1+1{,}2328767)\approx 0{,}6509,
P(X\ge 2)\approx 1-0{,}6509=0{,}3491.
Portanto, a probabilidade de duas ou mais mortes num dia típico é aproximadamente 0{,}349 (ou 34{,}9\%).

Resposta

(a) \dfrac{450}{52}\approx 8{,}65
(b) e^{-\,\frac{450}{52}}\approx 0{,}000174
(c) 1-e^{-\frac{450}{365}}\bigl(1+\tfrac{450}{365}\bigr)\approx 0{,}3491

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