Questão 4- A cada ano, ocorrem 450 mortes acidentais por arma de fogo na faixa etária de 15 24 anos (National Safety Council, Accident Facts,1996).
a) Por semana, qual é o número médio de mortes acidentais por armas de fogo?
b) Em uma semana típica, qual é a probabilidade de não haver nenhuma morte acidental por armas de fogo?
c) Em um dia típico, qual é a probabilidade de duas ou mais mortes acidentais por armas de fogo?
a) Por semana, qual é o número médio de mortes acidentais por armas de fogo?
b) Em uma semana típica, qual é a probabilidade de não haver nenhuma morte acidental por armas de fogo?
c) Em um dia típico, qual é a probabilidade de duas ou mais mortes acidentais por armas de fogo?
Passo 1
O enunciado dá a informação de que, a cada ano, ocorrem
mortes acidentais por arma de fogo na faixa etária de 15–24 anos. As perguntas são três, separadas:
- (a) Por semana, qual é o número médio de mortes acidentais por armas de fogo?
- (b) Em uma semana típica, qual é a probabilidade de não haver nenhuma morte acidental por armas de fogo?
- (c) Em um dia típico, qual é a probabilidade de ocorrerem duas ou mais mortes acidentais por armas de fogo?
Informações relevantes listadas:
- Número anual médio de mortes:
. - Vamos precisar usar a relação entre ano, semanas e dias: um ano tem
semanas (usaremos ) e dias (usaremos ). - Nenhuma figura ou tabela adicional foi fornecida.
Passo 2
Antes de calcular, precisamos escolher um modelo de contagem que faça sentido para o enunciado. Vou explicar o raciocínio de forma direta e didática (como se eu estivesse do seu lado na prova):
- Quando lidamos com “número de ocorrências” (como mortes) que acontecem em unidades de tempo fixas, e quando assumimos que essas ocorrências são relativamente raras, independentes e com taxa média constante no tempo, um modelo muito adequado é o modelo de Poisson.
- A distribuição de Poisson descreve a probabilidade de ocorrer exatamente
eventos em um intervalo, quando a média (esperança) no intervalo é . A fórmula da probabilidade é:
onde:
-
é a variável aleatória que conta o número de eventos no intervalo. -
é a média (esperança) do número de eventos nesse intervalo. -
é o fatorial de (por exemplo, ). - Para obter probabilidades em uma semana ou em um dia, primeiro calculamos a média esperada
naquele intervalo (convertendo a taxa anual para semanal ou diária) e então aplicamos a fórmula acima.
Passo 3
Calcular a média semanal. A média anual é
mortes por ano. Para passar para semanas, dividimos por
:
Agora faço a divisão (mostrando passo a passo):
cabe em
oito vezes (porque
), sobra
. Para obter a parte decimal, continuamos a divisão e obtemos
Arredondando de forma prática para a prova, podemos usar
. Esse número é o número médio de mortes por semana.
Passo 4
Resposta da parte (a). A pergunta (a) pede exatamente esse número médio por semana. Então:
Passo 5
Calcular a probabilidade de não haver nenhuma morte numa semana (parte b). Com o modelo de Poisson, a probabilidade de
eventos quando a média é
é:
Aqui usamos
. Portanto:
Agora avaliamos numericamente. Usando
,
Interpretação rápida: é uma probabilidade muito pequena — com essa média de
mortes por semana, esperar uma semana sem mortes é extremamente improvável.
Passo 6
Calcular a média diária para usar na parte (c). Começamos com
mortes por ano e dividimos por
dias:
Fazendo a divisão:
Arredondando para a prova,
. Esse é o número médio de mortes por dia.
Passo 7
Calcular a probabilidade de ocorrerem duas ou mais mortes num dia (parte c). Para a variável de Poisson
com média
, queremos
Usamos a fórmula da Poisson para
e
:
Somando:
Logo
Substituindo
:
Portanto, a probabilidade de duas ou mais mortes num dia típico é aproximadamente
(ou
).
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)