Questão 2 - A venda de certo produto pode ser vista como uma variável aleatória
cuja função de distribuição de probabilidade
e estimada por
venda de produtos
1
2
3
4
5
0,16
0,22
0,22
-p
a) Verifique se
realmente define uma fdp.
b) Calcule
|
|
1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|
|
0,16 | 0,22 |
|
0,22 | -p |
b) Calcule
Passo 1
O enunciado dá a variável aleatória
com a seguinte função de probabilidade (valor de
e probabilidade correspondente):
As perguntas são:
a) Verificar se realmente define uma função de probabilidade (fdp).
b) Calcular .
a) Verificar se
b) Calcular
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar (calma, é rápido) quais são as duas condições que uma função discreta precisa satisfazer para ser uma fdp:
- Todas as probabilidades devem ser não negativas: para cada valor
, . - A soma das probabilidades de todos os valores possíveis deve ser
: .
Agora vamos aplicar a segunda condição (soma igual a 1) ao nosso caso. Somando as probabilidades dadas obtemos:
Juntando os termos constantes temos
. Então a equação fica
Passo 3
Subtraímos
dos dois lados para obter uma equação quadrática padrão:
ou seja
Para resolver essa quadrática usamos a fórmula de Bhaskara:
Calculamos o discriminante:
Portanto as raízes são
Isso nos dá duas soluções numéricas:
Passo 4
Agora temos que verificar a condição de não negatividade das probabilidades individuais. Lembre-se das probabilidades:
,
,
,
,
. As duas exigências importantes aqui são:
-
(isso sempre vale para qualquer real), e -
, isto é, .
Portanto precisamos escolher a raiz que satisfaça
. Vamos avaliar as duas raízes aproximadas:
Calculemos numericamente
. Assim
A raiz
é positiva, o que faria
negativo — isso violaria a condição de não negatividade da probabilidade em
. Portanto
não é aceitável.
A raiz
é negativa, então
é positivo. Vamos verificar todas as probabilidades com
:
-
(já dada, positiva), -
(positiva), -
(positiva), -
(positiva), -
(positiva).
Todas são maiores ou iguais a zero e, pela construção (resolvemos pela soma igual a 1), somam exatamente
. Logo a única escolha válida é
Passo 5
Resumo do que fizemos para responder a) com clareza: a fdp é válida somente se escolhermos a raiz que torna todas as probabilidades não negativas; essa raiz é
o que garante
para todos os
e
. Portanto sim, existe um valor de
que faz
ser uma fdp, e esse é o valor acima.
Passo 6
Agora parte b): queremos
. Usando as probabilidades da tabela:
Substituindo
obtemos a resposta exata. Numericamente, com
,
Arredondando razoavelmente,
.
Resposta
a) Sim.
, que torna todas as probabilidades não negativas e soma
.\n
b)
b)