Questão 2 - A venda de certo produto pode ser vista como uma variável aleatória X cuja função de distribuição de probabilidade f_{X}(x) e estimada por
X= venda de produtos 1 2 3 4 5
f_{x}(x) 0,16 0,22 \mathrm{p}^{2} 0,22 -p
a) Verifique se f_{X}(x) realmente define uma fdp.
b) Calcule \operatorname{Pr}(4 \leq X \leq 5)

Passo 1

O enunciado dá a variável aleatória X com a seguinte função de probabilidade (valor de X e probabilidade correspondente):
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline X & 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\\ \hline f_X(x) & 0,16 & 0,22 & p^{2} & 0,22 & -p\\\ \hline \end{array}
As perguntas são:
a) Verificar se f_X(x) realmente define uma função de probabilidade (fdp).
b) Calcular \operatorname{Pr}(4 \leq X \leq 5).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar (calma, é rápido) quais são as duas condições que uma função discreta precisa satisfazer para ser uma fdp:
  1. Todas as probabilidades devem ser não negativas: para cada valor x, f_X(x)\ge 0.
  2. A soma das probabilidades de todos os valores possíveis deve ser 1: \sum_x f_X(x)=1.
Agora vamos aplicar a segunda condição (soma igual a 1) ao nosso caso. Somando as probabilidades dadas obtemos:
0,16 + 0,22 + p^{2} + 0,22 + (-p) = 1.
Juntando os termos constantes temos 0,16+0,22+0,22=0,60. Então a equação fica
p^{2} - p + 0,60 = 1.

Passo 3

Subtraímos 1 dos dois lados para obter uma equação quadrática padrão:
p^{2} - p + 0,60 - 1 = 0
ou seja
p^{2} - p - 0,40 = 0.
Para resolver essa quadrática usamos a fórmula de Bhaskara:
p=\frac{1\pm\sqrt{(-1)^{2}-4\cdot1\cdot(-0,40)}}{2\cdot1}.
Calculamos o discriminante:
\Delta = 1 - 4\cdot(-0,40) = 1 + 1,60 = 2,60.
Portanto as raízes são
p=\frac{1\pm\sqrt{2,60}}{2}.
Isso nos dá duas soluções numéricas:
p_{1}=\frac{1+\sqrt{2,60}}{2}\quad\text{e}\quad p_{2}=\frac{1-\sqrt{2,60}}{2}.

Passo 4

Agora temos que verificar a condição de não negatividade das probabilidades individuais. Lembre-se das probabilidades: 0,16, 0,22, p^{2}, 0,22, -p. As duas exigências importantes aqui são:
  • p^{2}\ge 0 (isso sempre vale para qualquer p real), e
  • -p \ge 0, isto é, p \le 0.
Portanto precisamos escolher a raiz que satisfaça p\le 0. Vamos avaliar as duas raízes aproximadas:
Calculemos numericamente \sqrt{2,60}\approx 1,612451. Assim
p_{1}\approx\frac{1+1,612451}{2}\approx 1,306225\quad(\text{positivo}),
p_{2}\approx\frac{1-1,612451}{2}\approx -0,306225.
A raiz p_{1}\approx 1,306225 é positiva, o que faria -p_{1} negativo — isso violaria a condição de não negatividade da probabilidade em X=5. Portanto p_{1} não é aceitável.
A raiz p_{2}\approx -0,306225 é negativa, então -p_{2} é positivo. Vamos verificar todas as probabilidades com p=p_{2}:
  • f_X(1)=0,16 (já dada, positiva),
  • f_X(2)=0,22 (positiva),
  • f_X(3)=p^{2}\approx(-0,306225)^{2}\approx 0,093774 (positiva),
  • f_X(4)=0,22 (positiva),
  • f_X(5)=-p\approx 0,306225 (positiva).
Todas são maiores ou iguais a zero e, pela construção (resolvemos pela soma igual a 1), somam exatamente 1. Logo a única escolha válida é
p=\frac{1-\sqrt{2,60}}{2}\approx -0,306225.

Passo 5

Resumo do que fizemos para responder a) com clareza: a fdp é válida somente se escolhermos a raiz que torna todas as probabilidades não negativas; essa raiz é
p=\frac{1-\sqrt{2,60}}{2}\approx -0,306225,
o que garante f_X(x)\ge 0 para todos os x e \sum_x f_X(x)=1. Portanto sim, existe um valor de p que faz f_X ser uma fdp, e esse é o valor acima.

Passo 6

Agora parte b): queremos \operatorname{Pr}(4\le X\le5)=\operatorname{Pr}(X=4)+\operatorname{Pr}(X=5). Usando as probabilidades da tabela:
\operatorname{Pr}(4\le X\le5)=0,22 + (-p)=0,22 - p.
Substituindo p=\dfrac{1-\sqrt{2,60}}{2} obtemos a resposta exata. Numericamente, com p\approx -0,306225,
\operatorname{Pr}(4\le X\le5)\approx 0,22 - (-0,306225)=0,22 + 0,306225\approx 0,526225.
Arredondando razoavelmente, \operatorname{Pr}(4\le X\le5)\approx 0,526.

Resposta

a) Sim. p=\dfrac{1-\sqrt{2,60}}{2}\approx -0,306225, que torna todas as probabilidades não negativas e soma 1.\n
b) \operatorname{Pr}(4\le X\le5)=0,22 - p \approx 0,526

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