Questão 3- Um varejista compra produtos em lotes. Cada objeto do lote pode ser aceitável ou defeituoso. Suponha que um lote tem 25 objetos. 6 deles são defeituosos. Selecionamos uma amostra sem reposição de 10 objetos. Qual a probabilidade de não encontrarmos nenhum objeto defeituoso?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa. Informações relevantes:
e a amostra é feita sem reposição. Pergunta: qual a probabilidade de não encontrarmos nenhum objeto defeituoso na amostra de 10?
Passo 2
Vamos traduzir o pedido para contagem de casos possíveis. Para obter “nenhum defeituoso” preciso escolher todas as
unidades entre as
aceitáveis. O número de maneiras de escolher
elementos de um conjunto de
elementos é dado pela combinação
onde
significa
fatorial (produto dos inteiros de
até
). Aqui:
- número de escolhas favoráveis =
(escolher 10 dentre as 19 boas), - número total de escolhas possíveis =
(escolher 10 quaisquer dentre 25).
Logo a probabilidade é a razão
Passo 3
Vou explicar por que esse raciocínio faz sentido de forma mais intuitiva também (útil na prova): ao retirar sem reposição, a probabilidade de a primeira retirada ser boa é
; dado isso, a probabilidade da segunda também ser boa é
; e assim por diante até a décima, cuja probabilidade condicional é
. Pela regra do produto,
é a mesma expressão que
(a cancelamento do
nas combinações produz exatamente esse produto). Esse raciocínio sequencial costuma ser mais rápido em prova se você não quiser escrever combinações.
Passo 4
Agora calculamos as combinações para obter um valor numérico. Primeiro
Calculando o produto do numerador obtemos
e
. Dividindo,
Passo 5
Em seguida
Calculando o produto do numerador obtemos
e dividindo por
resulta
Passo 6
Portanto a probabilidade pedida é
Convertendo para decimal (útil para interpretação)
ou seja, cerca de
.
Passo 7
Dica de prova: se você estiver com pressa, escreva rapidamente
— isso já é uma resposta exata e elegante. Se o enunciado pedir valor numérico, calcule os combinatórios ou use o produto sequencial
.