Questão 3- Um varejista compra produtos em lotes. Cada objeto do lote pode ser aceitável ou defeituoso. Suponha que um lote tem 25 objetos. 6 deles são defeituosos. Selecionamos uma amostra sem reposição de 10 objetos. Qual a probabilidade de não encontrarmos nenhum objeto defeituoso?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa. Informações relevantes:
\text{tamanho do lote} = 25,\qquad \text{número de defeituosos} = 6,ú
\text{número de aceitáveis} = 25-6 = 19,\qquad \text{tamanho da amostra} = 10,úá
e a amostra é feita sem reposição. Pergunta: qual a probabilidade de não encontrarmos nenhum objeto defeituoso na amostra de 10?

Passo 2

Vamos traduzir o pedido para contagem de casos possíveis. Para obter “nenhum defeituoso” preciso escolher todas as 10 unidades entre as 19 aceitáveis. O número de maneiras de escolher k elementos de um conjunto de n elementos é dado pela combinação
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! significa n fatorial (produto dos inteiros de 1 até n). Aqui:
  • número de escolhas favoráveis = \binom{19}{10} (escolher 10 dentre as 19 boas),
  • número total de escolhas possíveis = \binom{25}{10} (escolher 10 quaisquer dentre 25).
Logo a probabilidade é a razão
\frac{\binom{19}{10}}{\binom{25}{10}}.

Passo 3

Vou explicar por que esse raciocínio faz sentido de forma mais intuitiva também (útil na prova): ao retirar sem reposição, a probabilidade de a primeira retirada ser boa é \dfrac{19}{25}; dado isso, a probabilidade da segunda também ser boa é \dfrac{18}{24}; e assim por diante até a décima, cuja probabilidade condicional é \dfrac{10}{16}. Pela regra do produto,
\frac{19}{25}\cdot\frac{18}{24}\cdot\frac{17}{23}\cdot\frac{16}{22}\cdot\frac{15}{21}\cdot\frac{14}{20}\cdot\frac{13}{19}\cdot\frac{12}{18}\cdot\frac{11}{17}\cdot\frac{10}{16}
é a mesma expressão que \dfrac{\binom{19}{10}}{\binom{25}{10}} (a cancelamento do 10! nas combinações produz exatamente esse produto). Esse raciocínio sequencial costuma ser mais rápido em prova se você não quiser escrever combinações.

Passo 4

Agora calculamos as combinações para obter um valor numérico. Primeiro
\binom{19}{10}=\frac{19\cdot18\cdot17\cdot16\cdot15\cdot14\cdot13\cdot12\cdot11\cdot10}{10!}.
Calculando o produto do numerador obtemos 335221286400 e 10!=3628800. Dividindo,
\binom{19}{10}=92378.

Passo 5

Em seguida
\binom{25}{10}=\frac{25\cdot24\cdot23\cdot22\cdot21\cdot20\cdot19\cdot18\cdot17\cdot16}{10!}.
Calculando o produto do numerador obtemos 11861676288000 e dividindo por 10!=3628800 resulta
\binom{25}{10}=3268760.

Passo 6

Portanto a probabilidade pedida é
\frac{\binom{19}{10}}{\binom{25}{10}}=\frac{92378}{3268760}.
Convertendo para decimal (útil para interpretação)
\frac{92378}{3268760}\approx 0,0282619,
ou seja, cerca de 2{,}826\%.

Passo 7

Dica de prova: se você estiver com pressa, escreva rapidamente \dfrac{\binom{19}{10}}{\binom{25}{10}} — isso já é uma resposta exata e elegante. Se o enunciado pedir valor numérico, calcule os combinatórios ou use o produto sequencial \dfrac{19}{25}\cdot\dfrac{18}{24}\cdots\dfrac{10}{16}.

Resposta

\dfrac{\binom{19}{10}}{\binom{25}{10}}=\dfrac{92378}{3268760}\approx 0,0282619

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