Questão 7. Para cada x>0 definimos:
\Gamma(x)=\int_{0}^{\infty} t^{x-1} e^{-t} d t
\Gamma é conhecida como função Gamma e costuma aparecer em vários ramos da física e da matemática.
a) Mostre que \Gamma(1)=1 e \Gamma(x+1)=x \Gamma(x) para todo x>0. Conclua que \Gamma(n+1)=n ! para todo natural n \geq 1.
Em outras palavras, a função Gamma pode ser interpretada como a versão contínua do fatorial de um número natural.
b) Usando integração dupla e mudança de variáveis, calcule o valor de:
\int_{0}^{\infty} e^{-x^{2}} d x
Conclua que \Gamma(1 / 2)=\sqrt{\pi} e tente encontrar uma fórmula geral para \Gamma\left(\frac{n}{2}+1\right), usando o item a).
c) Denotando por V_{3}(r) o volume da esfera de raio r>0 centrada na origem, calcule V_{3}(r) usando integral dupla e mudança de variáveis. Conclua usando o item b) que:
V_{3}(r)=\frac{\pi^{3 / 2}}{\Gamma(5 / 2)} r^{3}
Curiosidade mórbida: é possível mostrar que se V_{n}(r) denota o volume da esfera n dimensional de raio r então:
V_{n}(r)=\frac{\pi^{n / 2}}{\Gamma\left(\frac{n}{2}+1\right)} r^{n}

Passo 1

O enunciado introduz a função Gamma, definida para todo x>0 por
\Gamma(x)=\int_{0}^{\infty}t^{x-1}e^{-t}\,dt.
Pede-se em (a) mostrar que \Gamma(1)=1 e que vale a relação de recorrência \Gamma(x+1)=x\,\Gamma(x), concluindo que \Gamma(n+1)=n! para n\in\mathbb{N}. Em (b) calcula-se a integral gaussiana \int_{0}^{\infty}e^{-x^2}dx, deduz-se \Gamma(1/2)=\sqrt\pi e obtém-se uma fórmula geral para \Gamma(n/2+1). Em (c) define-se V_3(r) como o volume da esfera de raio r e pede-se calcular V_3(r) usando integração e mudança de variáveis, mostrando que
V_3(r)=\frac{\pi^{3/2}}{\Gamma(5/2)}\,r^3.

Passo 2

Para (a) avaliamos primeiro
\Gamma(1)=\int_{0}^{\infty}t^{1-1}e^{-t}\,dt=\int_{0}^{\infty}e^{-t}\,dt =\bigl[-e^{-t}\bigr]_{0}^{\infty}=1.
Agora para x>0 escrevemos
\Gamma(x+1)=\int_{0}^{\infty}t^{x}e^{-t}\,dt
e aplicamos integração por partes com u=t^x, dv=e^{-t}dt. Então du=x\,t^{x-1}dt e v=-e^{-t}, logo
\Gamma(x+1) =\Bigl[-t^x e^{-t}\Bigr]_{0}^{\infty} +\int_{0}^{\infty}x\,t^{x-1}e^{-t}\,dt =0 + x\,\Gamma(x).
Por recorrência, para n\ge1 natural
\Gamma(n+1)=n\,\Gamma(n) =(n)(n-1)\,\Gamma(n-1) =\cdots =n!\,\Gamma(1)=n!.

Passo 3

Para (b) definimos
I=\int_{0}^{\infty}e^{-x^2}\,dx
e calculamos I^2 como produto de duas integrais em [0,\infty). Em coordenadas polares no primeiro quadrante:
I^2 =\int_{0}^{\infty}\!\int_{0}^{\infty}e^{-(x^2+y^2)}\,dx\,dy =\int_{\theta=0}^{\pi/2}\!\int_{r=0}^{\infty}e^{-r^2}r\,dr\,d\theta =\frac{\pi}{2}\,\frac12 =\frac{\pi}{4}.
Logo I=\sqrt\pi/2. Por outro lado, na mudança de variável t=x^2 temos dx=dt/(2\sqrt t), então
\int_{0}^{\infty}e^{-x^2}\,dx =\frac12\int_{0}^{\infty}t^{-1/2}e^{-t}\,dt =\frac12\,\Gamma\bigl(\tfrac12\bigr).
Comparando com I=\sqrt\pi/2 \Gamma(1/2)=\sqrt\pi.
Usando a recorrência de (a), para n\in\mathbb{N},
se n=2k então
\Gamma\bigl(\tfrac n2+1\bigr) =\Gamma(k+1)=k!;
se n=2k+1 então
\Gamma\bigl(\tfrac n2+1\bigr) =\Gamma\bigl(k+\tfrac32\bigr) =\bigl(k+\tfrac12\bigr)\bigl(k-\tfrac12\bigr)\cdots\tfrac12\;\Gamma\bigl(\tfrac12\bigr) =\frac{(2k+1)!!}{2^{k+1}}\sqrt\pi.

Passo 4

Para (c) usamos integração em fatias: a seção transversal da esfera de raio r no nível z é um disco de raio \sqrt{r^2-z^2}, de área \pi(r^2-z^2). Assim
V_3(r) =\int_{z=-r}^{r}\pi\bigl(r^2-z^2\bigr)\,dz =\pi\Bigl[r^2z-\tfrac{z^3}{3}\Bigr]_{-r}^{r} =\frac{4\pi}{3}\,r^3.
Como \Gamma(5/2)=\tfrac32\cdot\tfrac12\sqrt\pi=\tfrac{3\sqrt\pi}{4}, temos
\frac{\pi^{3/2}}{\Gamma(5/2)} =\frac{\pi^{3/2}}{\tfrac{3\sqrt\pi}{4}} =\frac{4\pi}{3},
logo
V_3(r)=\frac{\pi^{3/2}}{\Gamma(5/2)}\,r^3.

Resposta

a) \Gamma(1)=1\), \(\Gamma(x+1)=x\,\Gamma(x)\) e, por consequência, \(\Gamma(n+1)=n!\) para todo \(n\in\mathbb{N}.\) b) \(\displaystyle\int_{0}^{\infty}e^{-x^2}dx=\frac{\sqrt\pi}{2}\), \(\Gamma(1/2)=\sqrt\pi\) e \[\Gamma\bigl(\tfrac n2+1\bigr)= \begin{cases} k! &\text{se }n=2k,\\[6pt] \dfrac{(2k+1)!!}{2^{k+1}}\sqrt\pi &\text{se }n=2k+1. \end{cases}
c) (\displaystyle V_3®=\frac{\pi{3/2}}{\Gamma(5/2)},r3.]]

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