Questão 7. Para cada
definimos:
é conhecida como função Gamma e costuma aparecer em vários ramos da física e da matemática.
a) Mostre que
e
para todo
. Conclua que
! para todo natural
.
Em outras palavras, a função Gamma pode ser interpretada como a versão contínua do fatorial de um número natural.
b) Usando integração dupla e mudança de variáveis, calcule o valor de:
Conclua que
e tente encontrar uma fórmula geral para
, usando o item a).
c) Denotando por
o volume da esfera de raio
centrada na origem, calcule
usando integral dupla e mudança de variáveis. Conclua usando o item b) que:
Curiosidade mórbida: é possível mostrar que se
denota o volume da esfera
dimensional de raio
então:
a) Mostre que
Em outras palavras, a função Gamma pode ser interpretada como a versão contínua do fatorial de um número natural.
b) Usando integração dupla e mudança de variáveis, calcule o valor de:
c) Denotando por
Passo 1
O enunciado introduz a função Gamma, definida para todo
por
Pede-se em (a) mostrar que
e que vale a relação de recorrência
, concluindo que
para
. Em (b) calcula-se a integral gaussiana
, deduz-se
e obtém-se uma fórmula geral para
. Em (c) define-se
como o volume da esfera de raio
e pede-se calcular
usando integração e mudança de variáveis, mostrando que
Passo 2
Para (a) avaliamos primeiro
Agora para
escrevemos
e aplicamos integração por partes com
,
. Então
e
, logo
Por recorrência, para
natural
Passo 3
Para (b) definimos
e calculamos
como produto de duas integrais em
. Em coordenadas polares no primeiro quadrante:
Logo
. Por outro lado, na mudança de variável
temos
, então
Comparando com
dá
.
Usando a recorrência de (a), para ,
se então
Usando a recorrência de (a), para
se
se
então
Passo 4
Para (c) usamos integração em fatias: a seção transversal da esfera de raio
no nível
é um disco de raio
, de área
. Assim
Como
, temos
logo
Resposta
a)
c) (\displaystyle V_3®=\frac{\pi{3/2}}{\Gamma(5/2)},r3.]]