Questão 8. O objetivo deste exercício é calcular a soma:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}
a) Mostre que para todo 0<x<1 temos:
1+x+\ldots+x^{n}=\frac{1-x^{n}}{1-x}
Use a igualdade acima para concluir que:
\sum_{n=0}^{\infty} x^{n}=\frac{1}{1-x}
b) Usando o item a) mostre que:
\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \frac{1}{1-x y} d x d y=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}
Dica: Use o item a) e assuma que você pode passar a soma infinita de dentro para fora da integral.
c) Usando a mudança de variáveis x=\frac{u-v}{\sqrt{2}} e y=\frac{u+v}{\sqrt{2}}, calcule a integral dupla do item a). Conclua que:
onde R é o paralelogramo com vértices (0,0), \bigl(1/\sqrt2,-1/\sqrt2\bigr), \bigl(1/\sqrt2,1/\sqrt2\bigr), (\sqrt2,0).]
Passo 5
Para calcular \displaystyle \iint_{R}\frac{2}{2 - u^{2}+v^{2}}\,du\,dv
note que R se decompõe em duas regiões triangulares, e em cada uma integra-se primeiro em v (é uma integral do tipo \displaystyle \int \frac{dv}{a+v^{2}}) e depois em u.
Após executar essas integrais (usando \displaystyle \int\frac{dv}{a+v^{2}}=\frac1{\sqrt a}\arctan\!\bigl(v/\sqrt a\bigr)
e mudanças lineares de variável em u), chega-se ao valor fechado