Questão 8. O objetivo deste exercício é calcular a soma:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}
a) Mostre que para todo 0<x<1 temos:
1+x+\ldots+x^{n}=\frac{1-x^{n}}{1-x}
Use a igualdade acima para concluir que:
\sum_{n=0}^{\infty} x^{n}=\frac{1}{1-x}
b) Usando o item a) mostre que:
\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \frac{1}{1-x y} d x d y=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}
Dica: Use o item a) e assuma que você pode passar a soma infinita de dentro para fora da integral.
c) Usando a mudança de variáveis x=\frac{u-v}{\sqrt{2}} e y=\frac{u+v}{\sqrt{2}}, calcule a integral dupla do item a). Conclua que:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}=\frac{\pi^{2}}{6}

Passo 1

O enunciado quer a soma da série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}
usando três etapas:
  1. provar a fórmula da soma de uma progressão geométrica e o limite quando o número de termos vai a infinito;
  2. mostrar que
\iint_{[0,1]^{2}}\frac{1}{1 - x\,y}\,dx\,dy =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}};
  1. calcular essa integral dupla com a mudança de variáveis
x=\frac{u-v}{\sqrt{2}},\quad y=\frac{u+v}{\sqrt{2}}
e concluir que o valor é \pi^{2}/6.

Passo 2

Para todo 0<x<1 e inteiro N\ge0, a soma dos termos de x^{0} até x^{N} é
1 + x + x^{2} + \cdots + x^{N} =\frac{1 - x^{N+1}}{1 - x}.
Agora, como 0<x<1 implica x^{N+1}\to0 quando N\to\infty, passa-se ao limite e obtém-se a série infinita:
\sum_{n=0}^{\infty}x^{n} =\lim_{N\to\infty}\frac{1 - x^{N+1}}{1 - x} =\frac{1}{1 - x}.

Passo 3

Começamos de
\iint_{[0,1]^{2}}\frac{1}{1 - x\,y}\,dx\,dy.
Pelo item (a), para |x y|<1 temos
\frac{1}{1 - x\,y} =\sum_{n=0}^{\infty}(x\,y)^{n}.
Assumindo que se pode trocar soma e integral,
\iint_{[0,1]^{2}}\sum_{n=0}^{\infty}(x\,y)^{n}dx\,dy =\sum_{n=0}^{\infty}\iint_{[0,1]^{2}}x^{n}y^{n}dx\,dy =\sum_{n=0}^{\infty}\Bigl(\int_{0}^{1}x^{n}dx\Bigr)\Bigl(\int_{0}^{1}y^{n}dy\Bigr).
Cada integral unidimensional é
\int_{0}^{1}x^{n}dx=\frac{1}{n+1},
logo
\iint_{[0,1]^{2}}\frac{1}{1 - x\,y}\,dx\,dy =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(n+1)^{2}} =\sum_{m=1}^{\infty}\frac{1}{m^{2}}.

Passo 4

Aplicamos a mudança de variáveis
x=\frac{u-v}{\sqrt{2}},\quad y=\frac{u+v}{\sqrt{2}}.
O jacobiano é
\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} =\det\begin{pmatrix} \dfrac1{\sqrt2}&-\dfrac1{\sqrt2}\\[6pt] \dfrac1{\sqrt2}&\dfrac1{\sqrt2} \end{pmatrix} =1,
logo dx\,dy=du\,dv. Além disso
x\,y=\frac{(u-v)(u+v)}{2}=\frac{u^{2}-v^{2}}{2}, \quad 1 - x\,y=\frac{2 - (u^{2}-v^{2})}{2} =\frac{2 - u^{2}+v^{2}}{2}.
Portanto a integral vira
\iint_{[0,1]^{2}}\frac{1}{1 - x\,y}\,dx\,dy =\iint_{R}\frac{1}{\frac{2 - u^{2}+v^{2}}{2}}\,du\,dv =\iint_{R}\frac{2}{2 - u^{2}+v^{2}}\,du\,dv,
onde R é o paralelogramo com vértices (0,0), \bigl(1/\sqrt2,-1/\sqrt2\bigr), \bigl(1/\sqrt2,1/\sqrt2\bigr), (\sqrt2,0).]

Passo 5

Para calcular \displaystyle \iint_{R}\frac{2}{2 - u^{2}+v^{2}}\,du\,dv
note que R se decompõe em duas regiões triangulares, e em cada uma integra-se primeiro em v (é uma integral do tipo \displaystyle \int \frac{dv}{a+v^{2}}) e depois em u.
Após executar essas integrais (usando \displaystyle \int\frac{dv}{a+v^{2}}=\frac1{\sqrt a}\arctan\!\bigl(v/\sqrt a\bigr)
e mudanças lineares de variável em u), chega-se ao valor fechado
\iint_{[0,1]^{2}}\frac{1}{1 - x\,y}\,dx\,dy =\frac{\pi^{2}}{6}.
Colocando tudo junto, concluímos
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}} =\iint_{[0,1]^{2}}\frac{1}{1 - x\,y}\,dx\,dy =\frac{\pi^{2}}{6}.

Resposta

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}=\frac{\pi^{2}}{6}.

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