Questão 1. (2,0) Para cada um dos experimentos aleatórios abaixo, descreva um espaço amostral adequado (\Omega), determine o número de elementos de \Omega (possivelmente infinito) e classifique este espaço como discreto ou contínuo:
(0,5) De uma população de 3 itens industriais numerados de 1 a 3, selecionam-se 3 um de cada vez e sem reposição;

Passo 1

O enunciado pede que, para o experimento: “De uma população de 3 itens industriais numerados de 1 a 3, selecionam-se 3 um de cada vez e sem reposição”, eu descreva:
  • um espaço amostral adequado \Omega;
  • o número de elementos de \Omega (pode ser infinito, mas aqui provavelmente é finito);
  • classifique o espaço como discreto ou contínuo.
Informações dadas que vamos usar:
  • Itens disponíveis: \{1,2,3\}.
  • Seleção: 3 retiradas, uma por vez, sem reposição.
  • Como se diz “um de cada vez”, a ordem de retirada importa (cada resultado é uma sequência de três retiradas).

Passo 2

O que é o espaço amostral \Omega?
  • É o conjunto de todos os resultados possíveis do experimento. Cada resultado deve representar completamente o que ocorre no experimento.
  • Como retiramos “um de cada vez” e sem reposição, cada resultado deve indicar a ordem em que os itens saem. Portanto cada resultado é uma sequência (ou tupla) de três elementos, por exemplo (1,2,3) significa: primeiro saiu o item 1, depois o 2, depois o 3.
Agora vamos listar explicitamente todos esses resultados possíveis. Como há apenas três itens e retiramos os três, as sequências possíveis são todas as permutações dos elementos 1,2,3. Escrevendo todas elas:
(1,2,3),\\ (1,3,2),\\ (2,1,3),\\ (2,3,1),\\ (3,1,2),\\ (3,2,1).
Esse conjunto listado é o candidato a ser \Omega.

Passo 3

Contagem dos elementos de \Omega (passo a passo):
  • Contagem direta: ao listar acima contamos 6 sequências diferentes. Logo há 6 resultados possíveis.
  • Contagem combinatória (fórmula): quando queremos o número de sequências (ordens) ao escolher k elementos de um conjunto de n sem reposição e com ordem, usamos a fórmula de permutações:
P(n,k)=n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdots (n-k+1).
Aqui n=3 (itens disponíveis) e k=3 (quantas retiramos), então
P(3,3)=3\cdot 2\cdot 1 = 6.
Outra forma de ver: quando k=n, P(n,n)=n! (fatorial de n), e 3!=3\cdot2\cdot1=6.
Explicando o que cada símbolo significa:
  • n é o número total de itens possíveis (aqui 3).
  • k é quantos retiramos em sequência (aqui 3).
  • P(n,k) conta sequências distintas onde a ordem importa e não há reposição.

Passo 4

Classificação como discreto ou contínuo:
  • Espaço discreto: quando os resultados são contáveis (finito ou contavelmente infinito) — por exemplo, uma lista de permutações, resultados de lançamentos de dados, etc.
  • Espaço contínuo: quando os resultados formam um conjunto não-contável, tipicamente intervalos de números reais (por exemplo, tempo de espera real entre 0 e 10 segundos), onde há infinitos resultados que não podem ser listados um a um.
No nosso caso:
  • \Omega tem um número finito de elementos ( 6), portanto é um espaço amostral discreto (mais precisamente: finito discreto).

Passo 5

Observação importante para a prova (armadilha comum):
  • Se o enunciado dissesse “selecionam-se 3 sem reposição” mas não dissesse “um de cada vez” ou “a ordem não importa”, a interpretação poderia ser diferente: então cada resultado seria um subconjunto não ordenado \{1,2,3\}, e haveria apenas 1 resultado possível (todas as três escolhidas) — ou, em problemas com n>k, usaríamos combinações \binom{n}{k}.
  • Aqui, porém, a expressão “um de cada vez” indica claramente que a ordem importa, então usamos permutações e chegamos ao resultado acima.

Resposta

\Omega=\{(1,2,3),\\ (1,3,2),\\ (2,1,3),\\ (2,3,1),\\ (3,1,2),\\ (3,2,1)\n
Número de elementos de \Omega: 6\n
Classificação: discreto (espaço finito)

Exercícios relacionados