Questão 1. (2,0) Para cada um dos experimentos aleatórios abaixo, descreva um espaço amostral adequado
, determine o número de elementos de
(possivelmente infinito) e classifique este espaço como discreto ou contínuo:
De uma população de 3 itens industriais numerados de 1 a 3, selecionam-se 3 um de cada vez e sem reposição;
Passo 1
O enunciado pede que, para o experimento: “De uma população de
itens industriais numerados de
a
, selecionam-se
um de cada vez e sem reposição”, eu descreva:
- um espaço amostral adequado
; - o número de elementos de
(pode ser infinito, mas aqui provavelmente é finito); - classifique o espaço como discreto ou contínuo.
Informações dadas que vamos usar:
- Itens disponíveis:
. - Seleção:
retiradas, uma por vez, sem reposição. - Como se diz “um de cada vez”, a ordem de retirada importa (cada resultado é uma sequência de três retiradas).
Passo 2
O que é o espaço amostral
?
- É o conjunto de todos os resultados possíveis do experimento. Cada resultado deve representar completamente o que ocorre no experimento.
- Como retiramos “um de cada vez” e sem reposição, cada resultado deve indicar a ordem em que os itens saem. Portanto cada resultado é uma sequência (ou tupla) de três elementos, por exemplo
significa: primeiro saiu o item , depois o , depois o .
Agora vamos listar explicitamente todos esses resultados possíveis. Como há apenas três itens e retiramos os três, as sequências possíveis são todas as permutações dos elementos
. Escrevendo todas elas:
Esse conjunto listado é o candidato a ser
.
Passo 3
Contagem dos elementos de
(passo a passo):
- Contagem direta: ao listar acima contamos
sequências diferentes. Logo há resultados possíveis. - Contagem combinatória (fórmula): quando queremos o número de sequências (ordens) ao escolher
elementos de um conjunto de sem reposição e com ordem, usamos a fórmula de permutações:
Aqui
(itens disponíveis) e
(quantas retiramos), então
Outra forma de ver: quando
,
(fatorial de
), e
.
Explicando o que cada símbolo significa:
-
é o número total de itens possíveis (aqui ). -
é quantos retiramos em sequência (aqui ). -
conta sequências distintas onde a ordem importa e não há reposição.
Passo 4
Classificação como discreto ou contínuo:
- Espaço discreto: quando os resultados são contáveis (finito ou contavelmente infinito) — por exemplo, uma lista de permutações, resultados de lançamentos de dados, etc.
- Espaço contínuo: quando os resultados formam um conjunto não-contável, tipicamente intervalos de números reais (por exemplo, tempo de espera real entre
e segundos), onde há infinitos resultados que não podem ser listados um a um.
No nosso caso:
-
tem um número finito de elementos ( ), portanto é um espaço amostral discreto (mais precisamente: finito discreto).
Passo 5
Observação importante para a prova (armadilha comum):
- Se o enunciado dissesse “selecionam-se 3 sem reposição” mas não dissesse “um de cada vez” ou “a ordem não importa”, a interpretação poderia ser diferente: então cada resultado seria um subconjunto não ordenado
, e haveria apenas resultado possível (todas as três escolhidas) — ou, em problemas com , usaríamos combinações . - Aqui, porém, a expressão “um de cada vez” indica claramente que a ordem importa, então usamos permutações e chegamos ao resultado acima.
Resposta
Número de elementos de
Classificação: discreto (espaço finito)