Questão 1. (2,0) Para cada um dos experimentos aleatórios abaixo, descreva um espaço amostral adequado
, determine o número de elementos de
(possivelmente infinito) e classifique este espaço como discreto ou contínuo:
De uma população de 3 itens industriais numerados de 1 a 3, selecionam-se 2 todos de uma vez e sem reposição;
Passo 1
O enunciado pede que, para o experimento aleatório descrito, eu faça três coisas: (a) descreva um espaço amostral adequado
, (b) determine o número de elementos de
(pode ser infinito) e (c) classifique o espaço como discreto ou contínuo.
As informações dadas pelo enunciado são: há uma população com itens numerados
a
; escolhem-se
itens “todos de uma vez” e sem reposição.
As informações dadas pelo enunciado são: há uma população com
Passo 2
Interpretação importante (isso decide como montar
): “todos de uma vez” normalmente significa que a ordem em que os dois itens são retirados não importa — ou seja, escolhemos um subconjunto de tamanho
da população, não uma sequência ordenada. “Sem reposição” confirma que não podemos escolher o mesmo item duas vezes. Vou então tratar o experimento como uma seleção sem ordem (combinação) e sem reposição. Vou explicar os conceitos usados para ficar bem claro:
- Seleção com ordem (sequência) vs. sem ordem (conjunto): se a ordem importasse, o resultado
seria diferente de . Sem ordem, o resultado é o conjunto , que é igual a . - Sem reposição: não podemos repetir elementos; cada item só pode aparecer no resultado no máximo uma vez.
Passo 3
Construção do espaço amostral
. Como a ordem não importa e escolhemos
de
sem reposição, cada resultado é um subconjunto de tamanho
dos elementos
. Vou listar todos os subconjuntos de tamanho
:
Portanto um espaço amostral adequado é o conjunto formado por esses subconjuntos.
Passo 4
Agora vamos contar quantos elementos há em
. O número de maneiras de escolher
elementos dentre
quando a ordem não importa e sem reposição é dado pelo coeficiente binomial
onde
(fatorial de
) é
. Vou aplicar isso com
e
.
Passo 5
Cálculo explícito do coeficiente para este caso:
Calculemos os fatoriais:
,
,
. Assim
Isso confirma que o número de elementos de
é
. (Também vemos isso diretamente pela listagem do Passo 3.)
Passo 6
Classificação do espaço amostral como discreto ou contínuo. Definições rápidas e intuitivas:
- Espaço amostral discreto: tem um número finito ou numerável de resultados (por exemplo, listas que podemos enumerar).
- Espaço amostral contínuo: os resultados formam um conjunto não enumerável, tipicamente um intervalo de números reais (por exemplo, medir um tempo contínuo).
No nosso casotem um número finito de elementos ( ), logo é um espaço amostral discreto (mais precisamente: discreto e finito).
Passo 7
Dica rápida para a prova (memorização prática): quando virem “sem reposição” e “todos de uma vez / sem ordem”, pensem imediatamente em combinações
. Se a frase trouxer “com ordem” ou “sequencialmente” e a ordem importar, pensem em arranjos/permutations
. Por exemplo, se aqui a ordem importasse, teríamos
resultados em vez de
.
Resposta
Espaço amostral discreto (finito)