Questão 1. (2,0) Para cada um dos experimentos aleatórios abaixo, descreva um espaço amostral adequado (\Omega), determine o número de elementos de \Omega (possivelmente infinito) e classifique este espaço como discreto ou contínuo:
(0,5) De uma população de 3 itens industriais numerados de 1 a 3, selecionam-se 2 todos de uma vez e sem reposição;

Passo 1

O enunciado pede que, para o experimento aleatório descrito, eu faça três coisas: (a) descreva um espaço amostral adequado \Omega, (b) determine o número de elementos de \Omega (pode ser infinito) e (c) classifique o espaço como discreto ou contínuo.
As informações dadas pelo enunciado são: há uma população com 3 itens numerados 1 a 3; escolhem-se 2 itens “todos de uma vez” e sem reposição.

Passo 2

Interpretação importante (isso decide como montar \Omega): “todos de uma vez” normalmente significa que a ordem em que os dois itens são retirados não importa — ou seja, escolhemos um subconjunto de tamanho 2 da população, não uma sequência ordenada. “Sem reposição” confirma que não podemos escolher o mesmo item duas vezes. Vou então tratar o experimento como uma seleção sem ordem (combinação) e sem reposição. Vou explicar os conceitos usados para ficar bem claro:
  • Seleção com ordem (sequência) vs. sem ordem (conjunto): se a ordem importasse, o resultado (1,2) seria diferente de (2,1). Sem ordem, o resultado é o conjunto \{1,2\}, que é igual a \{2,1\}.
  • Sem reposição: não podemos repetir elementos; cada item só pode aparecer no resultado no máximo uma vez.

Passo 3

Construção do espaço amostral \Omega. Como a ordem não importa e escolhemos 2 de 3 sem reposição, cada resultado é um subconjunto de tamanho 2 dos elementos \{1,2,3\}. Vou listar todos os subconjuntos de tamanho 2:
\{1,2\},\qquad \{1,3\},\qquad \{2,3\}.
Portanto um espaço amostral adequado é o conjunto formado por esses subconjuntos.

Passo 4

Agora vamos contar quantos elementos há em \Omega. O número de maneiras de escolher k elementos dentre n quando a ordem não importa e sem reposição é dado pelo coeficiente binomial
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! (fatorial de n) é n!=n\cdot(n-1)\cdots2\cdot1. Vou aplicar isso com n=3 e k=2.

Passo 5

Cálculo explícito do coeficiente para este caso:
\binom{3}{2}=\frac{3!}{2!(3-2)!}=\frac{3!}{2!\,1!}.
Calculemos os fatoriais: 3!=3\cdot2\cdot1=6, 2!=2\cdot1=2, 1!=1. Assim
\binom{3}{2}=\frac{6}{2\cdot1}=\frac{6}{2}=3.
Isso confirma que o número de elementos de \Omega é 3. (Também vemos isso diretamente pela listagem do Passo 3.)

Passo 6

Classificação do espaço amostral como discreto ou contínuo. Definições rápidas e intuitivas:
  • Espaço amostral discreto: tem um número finito ou numerável de resultados (por exemplo, listas que podemos enumerar).
  • Espaço amostral contínuo: os resultados formam um conjunto não enumerável, tipicamente um intervalo de números reais (por exemplo, medir um tempo contínuo).
    No nosso caso \Omega tem um número finito de elementos ( 3), logo é um espaço amostral discreto (mais precisamente: discreto e finito).

Passo 7

Dica rápida para a prova (memorização prática): quando virem “sem reposição” e “todos de uma vez / sem ordem”, pensem imediatamente em combinações \binom{n}{k}. Se a frase trouxer “com ordem” ou “sequencialmente” e a ordem importar, pensem em arranjos/permutations P(n,k)=n(n-1)\cdots(n-k+1). Por exemplo, se aqui a ordem importasse, teríamos 3\cdot2=6 resultados em vez de 3.

Resposta

\Omega=\{\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\}\n
|\Omega|=3\n
Espaço amostral discreto (finito)

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