Questão 1. (2,0) Para cada um dos experimentos aleatórios abaixo, descreva um espaço amostral adequado (\Omega), determine o número de elementos de \Omega (possivelmente infinito) e classifique este espaço como discreto ou contínuo:
(0,5) Mede-se a corrente elétrica que passa em um fio de cobre fino em miliamperes;

Passo 1

O enunciado pede, para o experimento “mede-se a corrente elétrica que passa em um fio de cobre fino em miliamperes”, que eu:
  • descreva um espaço amostral adequado \Omega;
  • determine o número de elementos de \Omega (pode ser infinito);
  • classifique \Omega como discreto ou contínuo.
As informações dadas: a variável observada é a corrente elétrica medida em miliamperes (mA). Não há outras restrições no enunciado (por exemplo, sinal, intervalo máximo, precisão do instrumento), então vou explicar as interpretações possíveis e escolher a que faz mais sentido matematicamente para a questão.

Passo 2

O que é um espaço amostral?
  • Um espaço amostral \Omega é o conjunto de todos os resultados possíveis do experimento.
  • Aqui o “resultado” é o valor numérico da corrente, expresso em miliamperes. Logo \Omega deve ser um conjunto de números (reais) que representam correntes possíveis.
Vou explicar algumas interpretações físicas e matemáticas razoáveis antes de fixar \Omega:
  1. Se considerarmos a grandeza “corrente” como magnitude (sempre não negativa), então os valores possíveis são números reais \ge 0.
  2. Se considerarmos sentido e tratarmos corrente como grandeza com sinal, valores negativos também são possíveis, então os valores possíveis são todos os reais.
  3. Na prática, instrumentos têm resolução (por ex. 0,1 mA) e então só registram valores de uma grade discreta; mas o enunciado costuma pedir a modelagem matemática idealizada, sem limitar pela resolução do aparelho.
Vou optar pela modelagem matemática idealizada mais comum: medir a corrente como um número real não negativo (magnitudes em mA). Se o enunciado ou professor esperasse incluir sinal, a mudança é pequena e eu comento ao final.

Passo 3

Escolhendo formalmente o espaço amostral:
  • Adotando a interpretação “magnitude da corrente (não negativa) em mA”, um espaço amostral natural é
\Omega = [0,\infty)
ou seja, todos os números reais I tais que I\ge 0, onde I está em miliamperes.
  • Se você quisesse permitir corrente negativa (considerando direção), poderia tomar
\Omega = \mathbb{R} = (-\infty,\infty).
Ambas as escolhas são válidas; vou continuar com \Omega=[0,\infty) porque é a que costuma representar “a medida da corrente em mA” quando só se fala em valor.

Passo 4

Quantos elementos tem \Omega? (explicação didática sobre infinito enumerável vs não enumerável)
  • Existem dois tipos de infinito que costumamos comparar: infinito enumerável (ou contável), como o conjunto dos naturais \mathbb{N}, e infinito não enumerável (ou incontável), como um intervalo de números reais.
  • Uma maneira simples de ver que [0,\infty) tem “muitos” elementos é notar que o intervalo [0,1] está contido em [0,\infty).
  • É um resultado clássico que o intervalo [0,1] não pode ser enumerado em uma lista contável (prova de Cantor). Intuitivamente: se você supusesse listar todos os números de [0,1] em sequência, é possível construir um número que difere da n-ésima entrada na n-ésima casa decimal, garantindo que esse novo número não está na lista — contradição.
  • Logo [0,1] é não enumerável; portanto [0,\infty) também é não enumerável. Em linguagem técnica, \Omega=[0,\infty) tem cardinalidade do contínuo (a mesma cardinalidade dos reais).
Conclusão quantitativa: \Omega tem infinitos elementos e, mais precisamente, possui cardinalidade não enumerável (infinito incontável).

Passo 5

Classificação: discreto vs contínuo (explicação didática)
  • Espaço amostral discreto: é aquele cujos elementos são contáveis (finito ou enumerável). Exemplos: resultado de um dado \{1,2,3,4,5,6\}, moeda \{\text{cara},\text{coroa}\}, número de defeitos inteiro \{0,1,2,\dots\}.
  • Espaço amostral contínuo: frequentemente significa que os resultados são valores em um intervalo real contendo infinitos pontos não enumeráveis — normalmente modelamos com conjuntos como [a,b], [0,\infty) ou \mathbb{R}. Esses espaços permitem que variáveis tomem qualquer valor real dentro de um intervalo.
  • Como vimos no Passo 4, \Omega=[0,\infty) é não enumerável e contém intervalos — por isso classificamos \Omega como contínuo.

Passo 6

Observação prática (muito útil para a prova e para não se confundir):
  • Matematicamente modelamos a medida de corrente por um espaço contínuo [0,\infty).
  • Na prática, um voltímetro/ amperímetro tem resolução finita e só registra valores de uma grade (por exemplo, passos de 0,1 mA). Nesse caso prático o espaço amostral do aparelho é discreto e finito/contável.
  • Em questões teóricas de probabilidade/estatística, quando não dizem nada sobre resolução do instrumento, usa-se quase sempre o modelo contínuo (intervalo de reais).

Passo 7

Recapitulando (rápido e direto para decorar para a prova): usar \Omega=[0,\infty); número de elementos: infinito não enumerável (cardinalidade do contínuo); classificação: contínuo. Mantém-se a observação prática sobre resolução do instrumento caso o avaliador queira esse detalhe.

Resposta

\Omega=[0,\infty)
Número de elementos: infinito não enumerável (cardinalidade do contínuo)
Classificação: contínuo

Exercícios relacionados