Questão 1. (2,0) Para cada um dos experimentos aleatórios abaixo, descreva um espaço amostral adequado
, determine o número de elementos de
(possivelmente infinito) e classifique este espaço como discreto ou contínuo:
Mede-se a corrente elétrica que passa em um fio de cobre fino em miliamperes;
Passo 1
O enunciado pede, para o experimento “mede-se a corrente elétrica que passa em um fio de cobre fino em miliamperes”, que eu:
- descreva um espaço amostral adequado
; - determine o número de elementos de
(pode ser infinito); - classifique
como discreto ou contínuo.
As informações dadas: a variável observada é a corrente elétrica medida em miliamperes (mA). Não há outras restrições no enunciado (por exemplo, sinal, intervalo máximo, precisão do instrumento), então vou explicar as interpretações possíveis e escolher a que faz mais sentido matematicamente para a questão.
Passo 2
O que é um espaço amostral?
- Um espaço amostral
é o conjunto de todos os resultados possíveis do experimento. - Aqui o “resultado” é o valor numérico da corrente, expresso em miliamperes. Logo
deve ser um conjunto de números (reais) que representam correntes possíveis.
Vou explicar algumas interpretações físicas e matemáticas razoáveis antes de fixar
:
- Se considerarmos a grandeza “corrente” como magnitude (sempre não negativa), então os valores possíveis são números reais
. - Se considerarmos sentido e tratarmos corrente como grandeza com sinal, valores negativos também são possíveis, então os valores possíveis são todos os reais.
- Na prática, instrumentos têm resolução (por ex. 0,1 mA) e então só registram valores de uma grade discreta; mas o enunciado costuma pedir a modelagem matemática idealizada, sem limitar pela resolução do aparelho.
Vou optar pela modelagem matemática idealizada mais comum: medir a corrente como um número real não negativo (magnitudes em mA). Se o enunciado ou professor esperasse incluir sinal, a mudança é pequena e eu comento ao final.
Passo 3
Escolhendo formalmente o espaço amostral:
- Adotando a interpretação “magnitude da corrente (não negativa) em mA”, um espaço amostral natural é
ou seja, todos os números reais
tais que
, onde
está em miliamperes.
- Se você quisesse permitir corrente negativa (considerando direção), poderia tomar
Ambas as escolhas são válidas; vou continuar com
porque é a que costuma representar “a medida da corrente em mA” quando só se fala em valor.
Passo 4
Quantos elementos tem
? (explicação didática sobre infinito enumerável vs não enumerável)
- Existem dois tipos de infinito que costumamos comparar: infinito enumerável (ou contável), como o conjunto dos naturais
, e infinito não enumerável (ou incontável), como um intervalo de números reais. - Uma maneira simples de ver que
tem “muitos” elementos é notar que o intervalo está contido em . - É um resultado clássico que o intervalo
não pode ser enumerado em uma lista contável (prova de Cantor). Intuitivamente: se você supusesse listar todos os números de em sequência, é possível construir um número que difere da n-ésima entrada na n-ésima casa decimal, garantindo que esse novo número não está na lista — contradição. - Logo
é não enumerável; portanto também é não enumerável. Em linguagem técnica, tem cardinalidade do contínuo (a mesma cardinalidade dos reais).
Conclusão quantitativa:
tem infinitos elementos e, mais precisamente, possui cardinalidade não enumerável (infinito incontável).
Passo 5
Classificação: discreto vs contínuo (explicação didática)
- Espaço amostral discreto: é aquele cujos elementos são contáveis (finito ou enumerável). Exemplos: resultado de um dado
, moeda , número de defeitos inteiro . - Espaço amostral contínuo: frequentemente significa que os resultados são valores em um intervalo real contendo infinitos pontos não enumeráveis — normalmente modelamos com conjuntos como
, ou . Esses espaços permitem que variáveis tomem qualquer valor real dentro de um intervalo. - Como vimos no Passo 4,
é não enumerável e contém intervalos — por isso classificamos como contínuo.
Passo 6
Observação prática (muito útil para a prova e para não se confundir):
- Matematicamente modelamos a medida de corrente por um espaço contínuo
. - Na prática, um voltímetro/ amperímetro tem resolução finita e só registra valores de uma grade (por exemplo, passos de
mA). Nesse caso prático o espaço amostral do aparelho é discreto e finito/contável. - Em questões teóricas de probabilidade/estatística, quando não dizem nada sobre resolução do instrumento, usa-se quase sempre o modelo contínuo (intervalo de reais).
Passo 7
Recapitulando (rápido e direto para decorar para a prova): usar
; número de elementos: infinito não enumerável (cardinalidade do contínuo); classificação: contínuo. Mantém-se a observação prática sobre resolução do instrumento caso o avaliador queira esse detalhe.
Resposta
Número de elementos: infinito não enumerável (cardinalidade do contínuo)
Classificação: contínuo