Questão 1. Para cada item, calcule 4 passos do método da bisseção no intervalo dado para aproximar a solução da equação.
(b) x^{2}+x-\cos x=0,[0,1]
n a_{n} x_{n} b_{n} f\left(a_{n}\right) f\left(x_{n}\right) f\left(b_{n}\right)
1
2
3
4 / / / / / / / / / / / /

Passo 1

O enunciado dá a equação \,x^{2}+x-\cos x=0\, e pede: aplicar o método da bisseção no intervalo [0,1] e calcular 4 passos (ou seja, determinar \,a_{n},x_{n},b_{n},f(a_{n}),f(x_{n}),f(b_{n}) para n=1,2,3,4).
Informações fornecidas:
  • Equação: \,f(x)=x^{2}+x-\cos x\,.
  • Intervalo inicial: \,[0,1]\,.
  • Solicitação: executar 4 iterações do método da bisseção e preencher a tabela com os valores pedidos.

Passo 2

O que é o método da bisseção (explicação passo a passo, sem pular etapas).
  • Ideia: se f é contínua em [a,b] e f(a) e f(b) têm sinais opostos, então existe pelo menos uma raiz em (a,b). O método vai dividindo o intervalo ao meio sucessivas vezes e escolhendo o subintervalo onde o sinal muda.
  • Fórmula do ponto médio: \displaystyle x_n=\frac{a_n+b_n}{2}. Aqui \,a_n\, e \,b_n\, são as extremidades do intervalo na iteração n, e \,x_n\, é o ponto médio.
  • Regra para escolher o próximo intervalo:
    • Calcular f(a_n), f(x_n), f(b_n).
    • Se f(a_n)\cdot f(x_n)<0 então a raiz está em [a_n,x_n]; tomar a_{n+1}=a_n e b_{n+1}=x_n.
    • Se f(x_n)\cdot f(b_n)<0 então a raiz está em [x_n,b_n]; tomar a_{n+1}=x_n e b_{n+1}=b_n.
    • Se algum valor for exatamente zero, encontrou-se a raiz exata.
  • Na prática vamos avaliar f(x)=x^{2}+x-\cos x. Ao calcular f precisamos de aproximações para \cos em radianos; usarei aproximações com 6 a 9 dígitos onde necessário (essas aproximações são razoavelmente precisas para as 4 iterações pedidas).

Passo 3

Avaliar f nos extremos iniciais para confirmar mudança de sinal.
  • Calcular f(0): f(0)=0^{2}+0-\cos 0 = -\cos 0 = -1.Então f(0)=-1 (negativo).
  • Calcular f(1). Sabendo \cos 1\approx 0{,}5403023059, f(1)=1^{2}+1-\cos 1 = 2-\cos 1 \approx 2-0{,}5403023059 \approx 1{,}4596976941.Então f(1)\approx 1{,}4596976941 (positivo).
    Como f(0) é negativo e f(1) é positivo, existe pelo menos uma raiz em [0,1]. Podemos começar a bisseção.

Passo 4

Iteração n=1:
  • Calcular x_{1}=\dfrac{a_{1}+b_{1}}{2}=\dfrac{0+1}{2}=0{,}5.
  • Avaliar f(0{,}5). Usando \cos 0{,}5\approx 0{,}877582562, f(0{,}5)=0{,}5^{2}+0{,}5-\cos 0{,}5 = 0{,}25+0{,}5-0{,}877582562 = 0{,}75-0{,}877582562 \approx -0{,}127582562.Então f(0{,}5)\approx -0{,}127582562 (negativo).
  • Como f(0)\cdot f(0{,}5)>0 (ambos negativos), a raiz não está em [0,0{,}5]; está no outro subintervalo [0{,}5,1].
    Portanto escolhemos a_{2}=0{,}5 e b_{2}=1.

Passo 5

Iteração n=2:
  • Calcular x_{2}=\dfrac{a_{2}+b_{2}}{2}=\dfrac{0{,}5+1}{2}=0{,}75.
  • Avaliar f(0{,}75). Usando \cos 0{,}75\approx 0{,}7316888689, f(0{,}75)=0{,}75^{2}+0{,}75-\cos 0{,}75 = 0{,}5625+0{,}75-0{,}7316888689 = 1{,}3125-0{,}7316888689 \approx 0{,}5808111311.Então f(0{,}75)\approx 0{,}5808111311 (positivo).
  • Temos f(0{,}5) negativo e f(0{,}75) positivo, logo a raiz está em [0{,}5,0{,}75].
    Portanto a_{3}=0{,}5 e b_{3}=0{,}75.

Passo 6

Iteração n=3:
  • Calcular x_{3}=\dfrac{a_{3}+b_{3}}{2}=\dfrac{0{,}5+0{,}75}{2}=0{,}625.
  • Avaliar f(0{,}625). Usando \cos 0{,}625\approx 0{,}8109633295 (aproximação com expansão de Taylor), f(0{,}625)=0{,}625^{2}+0{,}625-\cos 0{,}625 = 0{,}390625+0{,}625-0{,}8109633295 = 1{,}015625-0{,}8109633295 \approx 0{,}2046616705.Então f(0{,}625)\approx 0{,}2046616705 (positivo).
  • Como f(0{,}5) é negativo e f(0{,}625) é positivo, a raiz está em [0{,}5,0{,}625].
    Portanto a_{4}=0{,}5 e b_{4}=0{,}625.

Passo 7

Iteração n=4:
  • Calcular x_{4}=\dfrac{a_{4}+b_{4}}{2}=\dfrac{0{,}5+0{,}625}{2}=0{,}5625.
  • Avaliar f(0{,}5625). Usando \cos 0{,}5625\approx 0{,}845923966 (aproximação via expansão), f(0{,}5625)=0{,}5625^{2}+0{,}5625-\cos 0{,}5625 = 0{,}31640625+0{,}5625-0{,}845923966 \approx 0{,}87890625-0{,}845923966 \approx 0{,}032982284.Então f(0{,}5625)\approx 0{,}032982284 (positivo).
  • Como f(0{,}5) é negativo e f(0{,}5625) é positivo, a raiz está em [0{,}5,0{,}5625].
    Após 4 iterações chegamos ao intervalo [0{,}5,0{,}5625] com ponto médio 0{,}5625.

Resposta

n=1:\\ a_{1}=0,\\ x_{1}=0{,}5,\\ b_{1}=1,\\ f(a_{1})=-1,\\ f(x_{1})\approx -0{,}127582562,\\ f(b_{1})\approx 1{,}459697694\n
n=2:\\ a_{2}=0{,}5,\\ x_{2}=0{,}75,\\ b_{2}=1,\\ f(a_{2})\approx -0{,}127582562,\\ f(x_{2})\approx 0{,}580811131,\\ f(b_{2})\approx 1{,}459697694\n
n=3:\\ a_{3}=0{,}5,\\ x_{3}=0{,}625,\\ b_{3}=0{,}75,\\ f(a_{3})\approx -0{,}127582562,\\ f(x_{3})\approx 0{,}204661671,\\ f(b_{3})\approx 0{,}580811131\n
n=4:\\ a_{4}=0{,}5,\\ x_{4}=0{,}5625,\\ b_{4}=0{,}625,\\ f(a_{4})\approx -0{,}127582562,\\ f(x_{4})\approx 0{,}032982284,\\ f(b_{4})\approx 0{,}204661671

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