Questão 1. Para cada item, calcule 4 passos do método da bisseção no intervalo dado para aproximar a solução da equação.
(b)
1
2
3
4
(b)
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| 1 | ||||||
| 2 | ||||||
| 3 | ||||||
| 4 |
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Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede: aplicar o método da bisseção no intervalo
e calcular 4 passos (ou seja, determinar
para
).
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
- Equação:
. - Intervalo inicial:
. - Solicitação: executar 4 iterações do método da bisseção e preencher a tabela com os valores pedidos.
Passo 2
O que é o método da bisseção (explicação passo a passo, sem pular etapas).
- Ideia: se
é contínua em e e têm sinais opostos, então existe pelo menos uma raiz em . O método vai dividindo o intervalo ao meio sucessivas vezes e escolhendo o subintervalo onde o sinal muda. - Fórmula do ponto médio:
. Aqui e são as extremidades do intervalo na iteração , e é o ponto médio. - Regra para escolher o próximo intervalo:
- Calcular
, , . - Se
então a raiz está em ; tomar e . - Se
então a raiz está em ; tomar e . - Se algum valor for exatamente zero, encontrou-se a raiz exata.
- Calcular
- Na prática vamos avaliar
. Ao calcular precisamos de aproximações para em radianos; usarei aproximações com 6 a 9 dígitos onde necessário (essas aproximações são razoavelmente precisas para as 4 iterações pedidas).
Passo 3
Avaliar
nos extremos iniciais para confirmar mudança de sinal.
- Calcular
: Então (negativo). - Calcular
. Sabendo , Então (positivo).
Comoé negativo e é positivo, existe pelo menos uma raiz em . Podemos começar a bisseção.
Passo 4
Iteração
:
- Calcular
. - Avaliar
. Usando , Então (negativo). - Como
(ambos negativos), a raiz não está em ; está no outro subintervalo .
Portanto escolhemose .
Passo 5
Iteração
:
- Calcular
. - Avaliar
. Usando , Então (positivo). - Temos
negativo e positivo, logo a raiz está em .
Portantoe .
Passo 6
Iteração
:
- Calcular
. - Avaliar
. Usando (aproximação com expansão de Taylor), Então (positivo). - Como
é negativo e é positivo, a raiz está em .
Portantoe .
Passo 7
Iteração
:
- Calcular
. - Avaliar
. Usando (aproximação via expansão), Então (positivo). - Como
é negativo e é positivo, a raiz está em .
Após 4 iterações chegamos ao intervalocom ponto médio .