Questão 2. Para cada um dos itens abaixo, decida se o limite existe ou não. Caso exista, calcule o seu valor; caso não exista, apresente um argumento que justifique a não existência (como a verificação por caminhos diferentes).
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{2 x^{3}-x y^{2}}{x^{2}+y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede que se decida se o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{2x^{3}-x y^{2}}{x^{2}+y^{2}}
existe ou não. Caso exista, calcular o seu valor; caso não exista, justificar (por exemplo, mostrando caminhos que levam a valores diferentes).
Informações dadas:
  • A função é f(x,y)=\dfrac{2x^{3}-x y^{2}}{x^{2}+y^{2}} definida em pontos (x,y)\neq(0,0).
  • O ponto de interesse é (0,0).
  • Não há outras restrições no enunciado.

Passo 2

Estratégia: em limites de funções de duas variáveis em (0,0) duas abordagens comuns são
  1. testar caminhos (por exemplo y=0, y=mx, etc.) para ver se aparecem valores diferentes — isso é um teste de não existência; ou
  2. usar coordenadas polares x=r\cos\theta, y=r\sin\theta e analisar o comportamento em função de r e \theta.
Aqui a expressão tem termos de grau 3 no numerador e grau 2 no denominador, então é natural tentar coordenadas polares porque frequentemente aparece um fator r que tende a zero independente de \theta. Vou seguir por coordenadas polares (é um método simples, direto e robusto para este tipo de expressão).
Explicação rápida sobre coordenadas polares: escrever x=r\cos\theta e y=r\sin\theta com r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\ge0. Quando (x,y)\to(0,0) então r\to0 enquanto \theta pode variar. Se a expressão em polares fica como r vezes uma função limitada de \theta, o produto tende a 0 quando r\to0.

Passo 3

Substituir x=r\cos\theta e y=r\sin\theta na expressão e simplificar passo a passo.
Calcular os termos:
x^{3}=(r\cos\theta)^{3}=r^{3}\cos^{3}\theta,
x y^{2}=(r\cos\theta)(r\sin\theta)^{2}=r^{3}\cos\theta\sin^{2}\theta,
x^{2}+y^{2}=r^{2}\cos^{2}\theta+r^{2}\sin^{2}\theta=r^{2}.
Substituindo na função:
\frac{2x^{3}-x y^{2}}{x^{2}+y^{2}} =\frac{2r^{3}\cos^{3}\theta - r^{3}\cos\theta\sin^{2}\theta}{r^{2}}.
Fatorando r^{3}/r^{2}=r e \cos\theta:
\frac{2x^{3}-x y^{2}}{x^{2}+y^{2}} = r\cos\theta\bigl(2\cos^{2}\theta-\sin^{2}\theta\bigr).

Passo 4

Analisar a expressão em polares:
g(r,\theta)=r\cos\theta\bigl(2\cos^{2}\theta-\sin^{2}\theta\bigr).
Observação importante: quando (x,y)\to(0,0) corresponde a r\to0 (o ângulo \theta pode ser qualquer valor), então há um fator explícito r multiplicando uma função que depende só de \theta. Se essa função de \theta for limitada (ou seja, tem um valor máximo finito em módulo), então g(r,\theta) tende a 0 quando r\to0, independentemente de \theta.
Vou mostrar que a parte que depende de \theta é limitada. Primeiro note que |\cos\theta|\le1, \cos^{2}\theta\le1 e \sin^{2}\theta\le1. Então
\bigl|2\cos^{2}\theta-\sin^{2}\theta\bigr|\le 2\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta \le 2\cdot 1 + 1 = 3.
Logo
\bigl|\cos\theta\bigl(2\cos^{2}\theta-\sin^{2}\theta\bigr)\bigr| \le |\cos\theta|\cdot 3 \le 3.
Portanto, em módulo,
\left|\frac{2x^{3}-x y^{2}}{x^{2}+y^{2}}\right| = |g(r,\theta)| \le 3r.
Como r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\to0 quando (x,y)\to(0,0), pelo Teorema do Aperto (squeeze theorem) temos g(r,\theta)\to0. Assim o limite existe e vale 0.

Passo 5

Dar uma prova \varepsilon- \delta rápida (rigor para prova escrita na prova):
Dado \varepsilon>0, escolha \delta=\dfrac{\varepsilon}{3}. Se \sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta então, com r=\sqrt{x^{2}+y^{2}},
\left|\frac{2x^{3}-x y^{2}}{x^{2}+y^{2}}\right|\le 3r < 3\delta = \varepsilon.
Isso mostra que para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 (especificamente \delta=\varepsilon/3) tal que 0<\sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta implica \left|\dfrac{2x^{3}-x y^{2}}{x^{2}+y^{2}}-0\right|<\varepsilon. Portanto
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{2x^{3}-x y^{2}}{x^{2}+y^{2}}=0.

Passo 6

Checagem por caminhos (como verificação extra, só para intuição):
  • Ao longo do eixo y=0: \dfrac{2x^{3}-x\cdot 0}{x^{2}+0}=2x\to0 quando x\to0.
  • Ao longo de y=mx: substituindo, a expressão fica proporcional a x e tende a 0 quando x\to0.
    Esses testes são consistentes com o resultado encontrado com polares.

Resposta

0

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