Questão 2. Para cada um dos itens abaixo, decida se o limite existe ou não. Caso exista, calcule o seu valor; caso não exista, apresente um argumento que justifique a não existência (como a verificação por caminhos diferentes).
\lim _{(x, y) \rightarrow(6,3)} x y(\cos (x-2 y))

Passo 1

O enunciado pede calcular
\lim_{(x,y)\to(6,3)} x y \big(\cos(x-2y)\big).
Informações dadas:
  • A função em questão é f(x,y)=x y \cos(x-2y).
  • O ponto de interesse é (6,3).
    O que se quer: decidir se o limite existe quando (x,y) tende a (6,3) e, se existir, calcular o valor.

Passo 2

Ideia útil (fórmulas / fatos que vamos usar):
  • Se funções g e h têm limite quando (x,y)\to(6,3), então
\lim_{(x,y)\to(6,3)} g(x,y)\,h(x,y) = \left(\lim_{(x,y)\to(6,3)} g(x,y)\right)\! \left(\lim_{(x,y)\to(6,3)} h(x,y)\right),
ou seja, o limite do produto é o produto dos limites (lei dos limites).
  • Funções coordenadas x\mapsto x e y\mapsto y são contínuas; polinômios e produto de funções contínuas são contínuos.
  • A função t\mapsto \cos t é contínua em todo ponto real, em particular em t=0.
  • Composição de funções contínuas é contínua.
Esses fatos permitem avaliar limites em várias etapas: primeiro encontrar os limites das peças x, y e \cos(x-2y), e então multiplicá-los.

Passo 3

Calcular os limites das componentes quando (x,y)\to(6,3).
  • Como a projeção em x é contínua,
\lim_{(x,y)\to(6,3)} x = 6.
  • De modo análogo,
\lim_{(x,y)\to(6,3)} y = 3.
  • A combinação linear x-2y é contínua, logo
\lim_{(x,y)\to(6,3)} (x-2y) = 6 - 2\cdot 3 = 0.
  • Como \cos é contínua em 0,
\lim_{(x,y)\to(6,3)} \cos(x-2y) = \cos\!\big(\lim_{(x,y)\to(6,3)}(x-2y)\big) = \cos(0)=1.

Passo 4

Aplicar a lei dos limites (produto) às três partes x, y e \cos(x-2y). Como cada limite existe e é finito,
\lim_{(x,y)\to(6,3)} x y \cos(x-2y) = \left(\lim_{(x,y)\to(6,3)} x\right) \left(\lim_{(x,y)\to(6,3)} y\right) \left(\lim_{(x,y)\to(6,3)} \cos(x-2y)\right).
Substituindo os valores obtidos no Passo 3:
\lim_{(x,y)\to(6,3)} x y \cos(x-2y) = 6\cdot 3 \cdot 1 = 18.

Passo 5

Verificação por caminhos (controle extra, para ganhar confiança): ao aproximar (x,y) por caminhos simples
  • se x=6 e y\to3, então f(6,y)=6y\cos(6-2y)\to 6\cdot 3\cdot 1=18;
  • se y=3 e x\to6, então f(x,3)=3x\cos(x-6)\to 3\cdot 6\cdot 1=18.
    Esses testes concordam com o resultado geral, como esperado para uma função contínua no ponto.

Resposta

18

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