Questão 2. Para cada um dos itens abaixo, decida se o limite existe ou não. Caso exista, calcule o seu valor; caso não exista, apresente um argumento que justifique a não existência (como a verificação por caminhos diferentes).
Passo 1
O enunciado pede calcular
Informações dadas:
- A função em questão é
. - O ponto de interesse é
.
O que se quer: decidir se o limite existe quandotende a e, se existir, calcular o valor.
Passo 2
Ideia útil (fórmulas / fatos que vamos usar):
- Se funções
e têm limite quando , então
ou seja, o limite do produto é o produto dos limites (lei dos limites).
- Funções coordenadas
e são contínuas; polinômios e produto de funções contínuas são contínuos. - A função
é contínua em todo ponto real, em particular em . - Composição de funções contínuas é contínua.
Esses fatos permitem avaliar limites em várias etapas: primeiro encontrar os limites das peças
,
e
, e então multiplicá-los.
Passo 3
Calcular os limites das componentes quando
.
- Como a projeção em
é contínua,
- De modo análogo,
- A combinação linear
é contínua, logo
- Como
é contínua em ,
Passo 4
Aplicar a lei dos limites (produto) às três partes
,
e
. Como cada limite existe e é finito,
Substituindo os valores obtidos no Passo 3:
Passo 5
Verificação por caminhos (controle extra, para ganhar confiança): ao aproximar
por caminhos simples
- se
e , então ; - se
e , então .
Esses testes concordam com o resultado geral, como esperado para uma função contínua no ponto.