Questão 2. Para cada um dos itens abaixo, decida se o limite existe ou não. Caso exista, calcule o seu valor; caso não exista, apresente um argumento que justifique a não existência (como a verificação por caminhos diferentes). \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} x \operatorname{sen}\left(\frac{1}{x^{2}+y^{2}}\right)
existe; se existir, calcular o valor; se não existir, justificar (por exemplo, mostrando caminhos com limites diferentes). A função está bem definida para todos os pares (x,y) com x^{2}+y^{2}\neq0 (ou seja, fora da origem). Queremos saber o comportamento dessa expressão quando o ponto (x,y) tende à origem (0,0).
Passo 2
Observação básica sobre a função seno: para todo número real t vale
-1 \le \operatorname{sen}(t) \le 1,
portanto
\bigl|\operatorname{sen}(t)\bigr| \le 1.
Aplicando isso com t=\dfrac{1}{x^{2}+y^{2}} (sempre que x^{2}+y^{2}\neq0) obtemos a desigualdade
Isto é, o valor absoluto da função que nos interessa está sempre menor ou igual a |x|.
Passo 3
Agora use uma ideia muito útil: se uma função g(x,y) satisfaz |g(x,y)|\le h(x,y) e h(x,y)\to0 quando (x,y)\to(0,0), então g(x,y)\to0 também (porque o valor absoluto de g fica preso entre 0 e algo que vai a zero). No nosso caso temos g(x,y)=x\operatorname{sen}\!\bigl(1/(x^{2}+y^{2})\bigr) e h(x,y)=|x|. Portanto, para concluir que g\to0 basta mostrar que |x|\to0 quando (x,y)\to(0,0).
Passo 4
Mostro uma prova \varepsilon-\delta simples para ficar totalmente rigoroso (é a mesma ideia do “prender por desigualdade” explicada acima).
Seja \varepsilon>0 dado. Tome \delta=\varepsilon. Se (x,y) satisfaz \sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta, então em particular
Isso mostra que, para todo \varepsilon>0, existe \delta=\varepsilon tal que se 0<\sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta então o módulo da função é menor que \varepsilon. Logo