Questão 4. Para cada sequência abaixo:
conclua sobre a convergência pelo Teorema das Sequências Monótonas. Em caso de convergência, encontre o limite.

Passo 1

O enunciado pede: para cada sequência dada, concluir sobre a convergência usando o Teorema das Sequências Monótonas e, caso convirja, encontrar o limite. No entanto, as sequências às quais o enunciado se refere não foram fornecidas aqui. Sem saber as fórmulas explícitas ou a definição recursiva de cada sequência, não é possível calcular monotonicidade, limites ou demonstrar desigualdades específicas. Vou então:
  • Explicar passo a passo, de forma didática, como aplicar o Teorema das Sequências Monótonas em qualquer sequência que apareça em prova;
  • Mostrar os testes práticos (diferença, razão, derivada em caso de termo geral com função, argumento por indução para recursivas);
  • Dar exemplos resolvidos completos para fixar a técnica;
  • No final, informar que não há como resolver as sequências específicas porque elas não foram fornecidas.

Passo 2

Enunciado do teorema (em palavras simples): se uma sequência (a_n)_{n\ge1} é monotona (isto é, ou crescente ou decrescente) e é limitada (tem um limite superior se for crescente, ou um limite inferior se for decrescente), então ela converge. Mais precisamente:
\begin{aligned} \text{Se } (a_n) \text{ é crescente e existe } M \in \mathbb{R}\\ \text{tal que } a_n \le M\\ \forall n, \text{ então } a_n \to \sup\{a_n:n\ge1\}.\\\ \text{Se } (a_n) \text{ é decrescente e existe } m \in \mathbb{R}\\ \text{tal que } a_n \ge m\\ \forall n, \text{ então } a_n \to \inf\{a_n:n\ge1\}. \end{aligned}éãéã
O que isso significa na prática: mostrar que a sequência é monotona e mostrar que ela é limitada já basta para concluir convergência; o limite será o menor majorante (no caso crescente) ou o maior minorante (no caso decrescente).

Passo 3

Como testar monotonicidade — métodos práticos:
  1. Se a sequência tem termo geral explícito a_n em forma fechada (por exemplo, envolvendo n, exponenciais, potências, frações):
    • Calcule a diferença \Delta_n = a_{n+1}-a_n.
      • Se \Delta_n \ge 0 para todo n (ou para todo n suficientemente grande), então (a_n) é crescente.
      • Se \Delta_n \le 0 para todo n, então é decrescente.
    • Alternativa: estudar a função f(x) contínua tal que a_n=f(n). Calcule f'(x):
      • Se f'(x)\ge 0 para x\ge N, então a_n é (eventualmente) crescente.
      • Se f'(x)\le 0, então é (eventualmente) decrescente.
    • Observação: “eventualmente” significa que talvez os primeiros termos não obedeçam, mas isso não impede aplicar o teorema desde que a monotonicidade valha a partir de algum N.
  2. Se a sequência é definida recursivamente, por exemplo a_{n+1}=g(a_n):
    • Tente mostrar por indução que todos os termos ficam em um intervalo [m,M] (ou [M,m]) que é invariantemente mapeado por g; isto prova limitação.
    • Para monotonicidade, compare g(x) com x: se você consegue provar que, para todo x no intervalo considerado, g(x)\ge x (ou \le x), então por indução a_{n+1}\ge a_n (ou \le).
    • Outra técnica: mostrar que g é monotona (crescente/decrescente) e que a sequência entra em um intervalo onde g preserva ordem.

Passo 4

Como mostrar que a sequência é limitada — técnicas comuns:
  • Usar desigualdades elementares (por exemplo, 1+x \le e^x para certos x, ou comparar com séries/potências conhecidas).
  • Para termos positivos com fator geométrico, reconhecer uma cota por soma de geométrica.
  • Para recursivas, construir um intervalo [m,M] tal que g([m,M])\subseteq [m,M]; então por indução todos os a_n ficam nesse intervalo.
  • Se conseguir demonstrar monotonicidade e encontrar um candidato L para o limite (por exemplo, a solução da equação de ponto fixo L=g(L) no caso recursivo), pode provar que a sequência é limitada por m\le a_n \le M com m ou M relacionados a L.

Passo 5

Como encontrar o limite quando a convergência é garantida:
  • Se a sequência é recursiva a_{n+1}=g(a_n) e convergir para algum L, então passando ao limite em ambos os lados (supondo g contínua) obtém-se L = g(L).Ou seja, o limite é um ponto fixo de g. Resolva L=g(L) e escolha a solução compatível com as desigualdades/intervalo onde a sequência vive.
  • Se a sequência tem termo geral fechado, às vezes é possível manipular explicitamente e calcular \lim_{n\to\infty} a_n (por exemplo, \lim (1+1/n)^n = e, \lim n/(n+1)=1, etc.).
  • Em problemas de prova, combine monotonicidade + limitação para garantir existência do limite e então determine o valor pela equação de ponto fixo ou por comparação com sequências conhecidas.

Passo 6

Exemplos worked-through (para fixar o procedimento). Vou resolver dois exemplos típicos que costuma aparecer em provas.
Exemplo A (termo geral explícito, fácil):
Mostre que a_n = 1 - 2^{-n} converge e ache o limite.
  • Monotonicidade: calcule \Delta_n = a_{n+1}-a_n.
    \Delta_n = \left(1-2^{-(n+1)}\right) - \left(1-2^{-n}\right) = -2^{-(n+1)} + 2^{-n} = 2^{-n}\left(1 - \tfrac12\right) = 2^{-n-1} > 0.
    Logo (a_n) é crescente.
  • Limitação: para todo n, 2^{-n}>0 então a_n = 1 - 2^{-n} < 1. Também a_1 = 1-1/2 = 1/2 > 0. Logo a sequência está limitada superiormente por 1 e inferiormente por 0.
  • Pelo Teorema das Sequências Monótonas, (a_n) converge. O limite é o supremo dos a_n, que aqui é 1. Formalmente,
    \lim_{n\to\infty} a_n = 1.
Exemplo B (recursiva, clássica):
Seja a_1=\sqrt{2} e a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}. Mostrar que converge e achar o limite.
  • Observação inicial: todos os termos são positivos por raiz principal.
  • Mostre que é crescente por indução:
    Base: a_2 = \sqrt{2+a_1} = \sqrt{2+\sqrt{2}} > \sqrt{2} = a_1.
    Indutivo: suponha a_{n}\ge a_{n-1}. Como a função g(x)=\sqrt{2+x} é crescente para x\ge0, aplica-se a_{n+1}=g(a_n)\ge g(a_{n-1})=a_n. Portanto por indução (a_n) é crescente.
  • Mostre que é limitada superiormente: suponha (e mostre por indução) que a_n < 2 para todo n.
    Base: a_1=\sqrt{2}<2. Indutivo: se a_n<2 então a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}<\sqrt{2+2}=\sqrt{4}=2. Assim a_n<2 para todo n. Logo a sequência é limitada superiormente por 2.
  • Pelo teorema, (a_n) é crescente e limitada, logo converge. Seja L=\lim a_n. Passando ao limite na relação recursiva (e usando continuidade de g):
    L = \sqrt{2+L}.
    Eleve ao quadrado:
    L^2 = 2+L \quad\Rightarrow\quad L^2 - L - 2 = 0 \quad\Rightarrow\quad (L-2)(L+1)=0.
    Como todos os a_n são positivos e menores que 2, o limite deve satisfazer 0\le L\le 2, portanto L=2 (descartamos L=-1). Assim
    \lim_{n\to\infty} a_n = 2.

Passo 7

Algoritmo prático resumido para aplicar na prova (passo a passo rápido):
  1. Identifique formulação da sequência: termo geral a_n ou recursiva a_{n+1}=g(a_n).
  2. Teste de monotonicidade:
    • Se termo geral: compute \Delta_n = a_{n+1}-a_n ou estude f'(x) se a_n=f(n).
    • Se recursiva: tente comparar g(x) com x e usar indução, ou mostrar que g é crescente e preserva ordem num intervalo.
  3. Teste de limitação:
    • Encontre um majorante (se crescente) ou minorante (se decrescente); use indução quando necessário.
  4. Conclua convergência pelo teorema.
  5. Encontre o limite:
    • Se recursiva: resolva L=g(L) e escolha a solução compatível com as desigualdades.
    • Se termo fechado: use propriedades de limites ou comparações com sequências conhecidas.
  6. Verifique consistência (sinal, intervalo) para escolher a solução correta.

Passo 8

Observações finais e incentivo: sei que parece muita técnica num pulo só, mas na prova faça essas verificações na ordem: monotonicidade → limite superior/inferior → concluir convergência → achar limite pela equação de ponto fixo (se recursiva). Se quiser, posso aplicar isso passo a passo às sequências exatas que o professor passou — cole-as que eu resolvo uma por uma, mostrando cada detalhe.

Resposta

Não é possível concluir sobre a convergência nem encontrar limites porque as sequências específicas não foram fornecidas no enunciado; por favor envie as fórmulas ou definições das sequências para eu resolver cada caso.

Exercícios relacionados