Questão 5. Para cada série, aplique PRIMEIRO o Teste da Divergência. Se inconclusivo, aplique o teste mais adequado. Indique claramente qual teste usou e por quê:
Passo 1
O enunciado pede para analisar a convergência da série
aplicando PRIMEIRO o Teste da Divergência e, se esse teste for inconclusivo, aplicar em seguida o teste mais adequado, indicando qual teste foi usado e por quê. Informação dada: todos os termos da série são positivos para
.
Passo 2
Aplicar o Teste da Divergência (também chamado de teste do termo geral). O teste diz: se
então a série
diverge; se
o teste é inconclusivo. Aqui
. Calcular o limite do termo geral:
Uma forma simples de ver esse limite é dividir numerador e denominador por
:
Logo
Como o limite do termo é
, o Teste da Divergência é inconclusivo — não podemos concluir convergência nem divergência só com isso.
Passo 3
Escolher um teste adequado. Observação heurística: para
grande,
ou seja, os termos se comportam como os termos da série harmônica
. A série harmônica diverge. Uma maneira rigorosa e rápida de transformar essa heurística em prova é usar o Teste da Comparação por Limite (Limit Comparison Test).
Enunciar o Teste da Comparação por Limite: sejam
e
. Se
existe e
, então
e
têm o mesmo comportamento (ou seja, ambas convergem ou ambas divergem). Vou escolher
(a série harmônica), porque a forma assintótica sugere isso.
Passo 4
Aplicar o Teste da Comparação por Limite com
e
. Calcular
Esse limite é imediato:
Temos
, que satisfaz
. Pelo Teste da Comparação por Limite,
e
têm o mesmo comportamento. Como a série harmônica
é conhecida por divergir (é um caso clássico: série
com
), concluímos que a série original também diverge.
Passo 5
Resumo prático para a prova (ficar esperto!): sempre faça primeiro o Teste da Divergência. Se o termo tende a zero (como aqui), tente comparar com uma série conhecida usando comparação direta, comparação por limite ou integral. Neste problema a comparação por limite com
é rápida e rigorosa, porque a razão dos termos tende a
.
Resposta
A série diverge.