Questão 5. Para cada série, aplique PRIMEIRO o Teste da Divergência. Se inconclusivo, aplique o teste mais adequado. Indique claramente qual teste usou e por quê:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n^{2}+1}

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n^{2}+1},
aplicando PRIMEIRO o Teste da Divergência e, se esse teste for inconclusivo, aplicar em seguida o teste mais adequado, indicando qual teste foi usado e por quê. Informação dada: todos os termos da série são positivos para n\ge1.

Passo 2

Aplicar o Teste da Divergência (também chamado de teste do termo geral). O teste diz: se \lim_{n\to\infty} a_n \neq 0 então a série \sum a_n diverge; se \lim_{n\to\infty} a_n = 0 o teste é inconclusivo. Aqui a_n=\dfrac{n}{n^{2}+1}. Calcular o limite do termo geral:
\lim_{n\to\infty} \frac{n}{n^{2}+1}.
Uma forma simples de ver esse limite é dividir numerador e denominador por n:
\frac{n}{n^{2}+1}=\frac{1}{n+\dfrac{1}{n}}.
Logo
\lim_{n\to\infty} \frac{n}{n^{2}+1}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n+\dfrac{1}{n}}=0.
Como o limite do termo é 0, o Teste da Divergência é inconclusivo — não podemos concluir convergência nem divergência só com isso.

Passo 3

Escolher um teste adequado. Observação heurística: para n grande,
\frac{n}{n^{2}+1}\approx\frac{n}{n^{2}}=\frac{1}{n},
ou seja, os termos se comportam como os termos da série harmônica \sum \dfrac{1}{n}. A série harmônica diverge. Uma maneira rigorosa e rápida de transformar essa heurística em prova é usar o Teste da Comparação por Limite (Limit Comparison Test).
Enunciar o Teste da Comparação por Limite: sejam a_n>0 e b_n>0. Se
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}
existe e 0<L<\infty, então \sum a_n e \sum b_n têm o mesmo comportamento (ou seja, ambas convergem ou ambas divergem). Vou escolher b_n=\dfrac{1}{n} (a série harmônica), porque a forma assintótica sugere isso.

Passo 4

Aplicar o Teste da Comparação por Limite com a_n=\dfrac{n}{n^{2}+1} e b_n=\dfrac{1}{n}. Calcular
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n} =\lim_{n\to\infty}\frac{\dfrac{n}{n^{2}+1}}{\dfrac{1}{n}} =\lim_{n\to\infty}\frac{n^{2}}{n^{2}+1}.
Esse limite é imediato:
\lim_{n\to\infty}\frac{n^{2}}{n^{2}+1}=1.
Temos L=1, que satisfaz 0<L<\infty. Pelo Teste da Comparação por Limite, \sum a_n e \sum b_n têm o mesmo comportamento. Como a série harmônica
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}
é conhecida por divergir (é um caso clássico: série p com p=1), concluímos que a série original também diverge.

Passo 5

Resumo prático para a prova (ficar esperto!): sempre faça primeiro o Teste da Divergência. Se o termo tende a zero (como aqui), tente comparar com uma série conhecida usando comparação direta, comparação por limite ou integral. Neste problema a comparação por limite com \dfrac{1}{n} é rápida e rigorosa, porque a razão dos termos tende a 1.

Resposta

A série diverge.

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