Questão 2. Uma caixa d’água tem a forma de um paralelepípedo de base 6 m por 3 m e 2 m de altura e está inicialmente cheia. No fundo da caixa existe uma pequena abertura circular de raio
. Indique por
a altura da água no tanque no instante
. Sabe-se que a velocidade com que a água deixa o tanque pela abertura no fundo é de
. Deduza a equação diferencial que governa este processo e encontre a altura
da água na caixa em função de
e o instante que o tanque esvazia.
Passo 1
O enunciado nos dá um tanque em forma de paralelepípedo com base
e altura inicial
, logo a área da base é
Pelo teorema de Torricelli, a velocidade de saída da água pelo orifício de raio
é
Vamos usar conservação de volume para obter a ODE em
.
Passo 2
O volume de água no tanque é
A vazão volumétrica de saída é
Como o volume decresce pela saída da água, vale
Passo 3
Isolando
, obtemos a equação diferencial separável
Passo 4
Separamos variáveis e integramos:
Passo 5
Usando
, temos
. Logo
Passo 6
O tanque esvazia quando
, ou seja
Resposta
A equação diferencial é
A altura em função do tempo é
O tempo de esvaziamento do tanque é