Questão 2. Uma caixa d’água tem a forma de um paralelepípedo de base 6 m por 3 m e 2 m de altura e está inicialmente cheia. No fundo da caixa existe uma pequena abertura circular de raio rm. Indique por y=y(t) a altura da água no tanque no instante t. Sabe-se que a velocidade com que a água deixa o tanque pela abertura no fundo é de raiz2 g y m / s. Deduza a equação diferencial que governa este processo e encontre a altura y da água na caixa em função de t e o instante que o tanque esvazia.

Passo 1

O enunciado nos dá um tanque em forma de paralelepípedo com base 6rm,mtimes3rm,m e altura inicial y(0)=2rm,m, logo a área da base é
Arm base=6cdot3=18rm,m^2
Pelo teorema de Torricelli, a velocidade de saída da água pelo orifício de raio rm é
v=raiz2,g,y
Vamos usar conservação de volume para obter a ODE em y(t).

Passo 2

O volume de água no tanque é
V(t)=Arm base,y(t)=18,y(t)
A vazão volumétrica de saída é
Qrm out=área do orifíciotimes v =pi,rm^2,raiz2,g,y áí
Como o volume decresce pela saída da água, vale
dVdt=-Qrm out Longrightarrow 18,dydt =-pi,rm^2,raiz2,g,y

Passo 3

Isolando dydt, obtemos a equação diferencial separável
dydt =-pi,rm^2,raiz2,g18;y^1/2

Passo 4

Separamos variáveis e integramos:
integral y^-1/2,dy =-pi,rm^2,raiz2,g18integral dt Longrightarrow 2,y^1/2 =-pi,rm^2,raiz2,g18,t + C

Passo 5

Usando y(0)=2, temos 2raiz2=C. Logo
raizy =raiz2 -pi,rm^2,raiz2,g36,t,
y(t) =l(raiz2 -tfracpi,rm^2,raiz2,g36,tr)^2

Passo 6

O tanque esvazia quando y=0, ou seja
0=raiz2 -pi,rm^2,raiz2,g36,T ;Longrightarrow; T =36raiz2pi,rm^2,raiz2,g =36pi,rm^2,raizg

Resposta

A equação diferencial é
dydt =-pi,rm^2,raiz2,g18;y^1/2
A altura em função do tempo é
y(t) =l(raiz2 -tfracpi,rm^2,raiz2,g36,tr)^2
O tempo de esvaziamento do tanque é
T=36pi,rm^2,raizg

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