Seja f(x, y, z)=x-2 y^2-z. Determine os pontos do conjunto A=(x, y) in R^2 ; x^2+y^2+z^2-8 x <= 0 em que f tem seu menor e seu maior valor, caso existam.

Passo 1

O enunciado define
f(x,y,z)=x-2y^2-z
e o conjunto
A=(x,y,z)inR^3mid x^2+y^2+z^2-8x<=0
Note que a condição é equivalente a
(x-4)^2+y^2+z^2<=16,
ou seja, A é a bola fechada de centro (4,0,0) e raio 4. Como A é compacto e f é contínua, f atinge máximo e mínimo em A. Não há pontos críticos no interior (pois nabla fneq0), logo os extremos ocorrem na fronteira
g(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-8x=0

Passo 2

Vamos aplicar multiplicadores de Lagrange com
g(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-8x
As equações são
nabla f=(1,,-4y,,-1)=lambda,(2x-8,;2y,;2z)
juntamente com a restrição g(x,y,z)=0. Logo obtemos o sistema
1=lambda,(2x-8), -4y=2lambda,y, -1=2lambda,z, (x-4)^2+y^2+z^2=16

Passo 3

Da segunda equação, -4y=2lambda y, ou y=0 ou lambda=-2.
Se lambda=-2, da primeira vêm
1=-2,(2x-8)implies -4x+16=1implies x=tfrac154,
e da terceira
-1=2(-2),zimplies z=tfrac14
Mas então
(x-4)^2+y^2+z^2=(tfrac154-4)^2+0+(tfrac14)^2 =l(-tfrac14r)^2+l(tfrac14r)^2 =tfrac18neq16,
logo não satisfaz a restrição. Concluímos que devemos ter y=0.

Passo 4

Com y=0, as duas primeiras equações já estão satisfeitas para qualquer lambda. Das outras duas:
1=lambda,(2x-8)implies lambda=12x-8,
-1=2lambda,zimplies -1=2z2x-8implies z=4-x
Na restrição,
(x-4)^2+0+(4-x)^2=16 Longrightarrow 2(x-4)^2=16 Longrightarrow x-4=pm2raiz2
Assim
x=4pm2raiz2, y=0, z=4-x=mp2raiz2
São dois candidatos:
P1=(4+2raiz2,,0,,-2raiz2), P2=(4-2raiz2,,0,,2raiz2)

Passo 5

Calculamos f em cada ponto:
f(P)=x-2y^2-z=x-z
Em P1:
f(P1)=(4+2raiz2)-(-2raiz2)=4+4raiz2
Em P2:
f(P2)=(4-2raiz2)-(2raiz2)=4-4raiz2
Como 4+4raiz2>4-4raiz2, concluímos:
– Máximo de f em A ocorre em
(4+2raiz2,,0,,-2raiz2) com valor 4+4raiz2.
– Mínimo de f em A ocorre em
(4-2raiz2,,0,,2raiz2) com valor 4-4raiz2.

Resposta

Máximo em l(4+2raiz2,,0,,-2raiz2r), valor 4+4raiz2.
Mínimo em l(4-2raiz2,,0,,2raiz2r), valor 4-4raiz2.

Exercícios relacionados