Seja . Determine os pontos do conjunto em que tem seu menor e seu maior valor, caso existam.
Passo 1
O enunciado define
e o conjunto
Note que a condição é equivalente a
ou seja, é a bola fechada de centro e raio . Como é compacto e é contínua, atinge máximo e mínimo em . Não há pontos críticos no interior (pois ), logo os extremos ocorrem na fronteira
Passo 2
Vamos aplicar multiplicadores de Lagrange com
As equações são
juntamente com a restrição . Logo obtemos o sistema
Passo 3
Da segunda equação, -4y=2lambda y, ou y=0 ou lambda=-2.
Se lambda=-2, da primeira vêm
Como 4+4raiz2>4-4raiz2, concluímos:
– Máximo de f em A ocorre em (4+2raiz2,,0,,-2raiz2) com valor 4+4raiz2.
– Mínimo de f em A ocorre em (4-2raiz2,,0,,2raiz2) com valor 4-4raiz2.
Resposta
Máximo em l(4+2raiz2,,0,,-2raiz2r), valor 4+4raiz2.
Mínimo em l(4-2raiz2,,0,,2raiz2r), valor 4-4raiz2.