Questão 7:

Uma caixa encontra-se livre, sem nenhuma segurança, no banco traseiro de um carro, de forma que ela pode deslizar livremente apesar do atrito existente entre a caixa e o assento do carro. Partindo do repouso, qual deverá o menor tempo possível para que o carro acelere uniformemente até atingir uma velocidade de 30 \mathrm{~m} / \mathrm{s} sem que a caixa se mova? Para isso, considere que o coeficiente de atrito estático e cinético entre o banco do carro e a caixa é, respectivamente, igual a 0,355 e 0,365 . Para resolver este problema você deve fazer um diagrama de corpo livre para a caixa.

Passo 1

O enunciado pergunta qual o menor tempo para o carro, partindo do repouso e acelerando uniformemente, atingir 30\\ \mathrm{m/s} sem que a caixa deslize. O que precisamos usar é o atrito estático máximo que mantém a caixa presa ao banco, e a relação entre aceleração, velocidade e tempo para movimento uniformemente acelerado.

Passo 2

Desenhando o diagrama de corpo livre da caixa no referencial não inercial do carro em aceleração a:
\begin{cases} \text{força peso: } \vec{P} = m\,g\\ \text{(vertical para baixo)},\\\ \text{normal: } \vec{N}\\ \text{(vertical para cima)},\\\ \text{força inercial: } \vec{F}_\text{in} = -\,m\,a\\ \text{(horizontal, apontando para trás do carro)},\\\ \text{atrito estático: } \vec{F}_s\\ \text{(horizontal, apontando para frente do carro, iguala }m\,a\text{).} \end{cases}ççáá

Passo 3

Como a caixa não se move no referencial do carro, as forças se equilibram:
\sum F_x = F_s - m\,a = 0, \qquad \sum F_y = N - m\,g = 0.
O atrito estático máximo vale
F_{s,\max} = \mu_s\,N = \mu_s\,m\,g.
Para não deslizar é necessário m\,a \le F_{s,\max}. Logo,
a \le \mu_s\,g \quad\Longrightarrow\quad a_{\max} = \mu_s\,g.

Passo 4

Para acelerar uniformemente de 0 a v com aceleração a_{\max}, o tempo mínimo é
t = \frac{v}{a_{\max}}.

Passo 5

Substituindo \mu_s = 0,355, g = 9,8\\ \mathrm{m/s^2} e v = 30\\ \mathrm{m/s}:
a_{\max} = 0,355 \times 9,8 \approx 3{,}48\\ \mathrm{m/s^2},
t = \frac{30}{3{,}48} \approx 8{,}62\\ \mathrm{s}.

Resposta

O menor tempo possível é aproximadamente 8{,}6\\ \mathrm{s}.

Exercícios relacionados