Questão 5:

Calculando a integral
\int_{0}^{\sqrt{\pi}} x \operatorname{sen}\left(x^{2}\right) d x
pelo método da integração por partes, teremos

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{0}^{\sqrt{\pi}} x \operatorname{sen}\bigl(x^{2}\bigr)\,dx
usando o método de integração por partes. Aqui vamos aplicar a fórmula
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du
e, quando aparecer, usar substituição para simplificar integrais de funções de x^{2}.

Passo 2

Escolhemos
u = \operatorname{sen}\bigl(x^{2}\bigr), \quad dv = x\,dx.
Então
du = 2x\cos\bigl(x^{2}\bigr)\,dx, \quad v = \int x\,dx = \frac{x^{2}}{2}.

Passo 3

Aplicando integração por partes,
\int x \operatorname{sen}\bigl(x^{2}\bigr)\,dx = u\,v - \int v\,du = \frac{x^{2}}{2}\operatorname{sen}\bigl(x^{2}\bigr) - \int \frac{x^{2}}{2}\,2x\cos\bigl(x^{2}\bigr)\,dx
= \frac{x^{2}}{2}\operatorname{sen}\bigl(x^{2}\bigr) - \int x^{3}\cos\bigl(x^{2}\bigr)\,dx.

Passo 4

Para calcular \displaystyle \int x^{3}\cos\bigl(x^{2}\bigr)\,dx, fazemos a substituição
t = x^{2}, \quad dt = 2x\,dx \;\Longrightarrow\; x\,dx = \frac{dt}{2}, \quad x^{2}=t.
Logo
\int x^{3}\cos\bigl(x^{2}\bigr)\,dx = \int x^{2}\bigl(x\cos(x^{2})\,dx\bigr) = \int t\cos(t)\,\frac{dt}{2} = \frac{1}{2}\int t\cos(t)\,dt.

Passo 5

Agora usamos novamente partes em \displaystyle \int t\cos(t)\,dt:
escolhendo a=t e db=\cos(t)\,dt, temos da=dt e b=\sin(t), daí
\int t\cos(t)\,dt = t\sin(t) - \int \sin(t)\,dt = t\sin(t) + \cos(t) + C.
Então
\int x^{3}\cos\bigl(x^{2}\bigr)\,dx = \frac{1}{2}\bigl(t\sin(t) + \cos(t)\bigr) + C = \frac{1}{2}\bigl(x^{2}\sin(x^{2}) + \cos(x^{2})\bigr) + C.

Passo 6

Voltando à integral original,
\int x \operatorname{sen}\bigl(x^{2}\bigr)\,dx = \frac{x^{2}}{2}\operatorname{sen}\bigl(x^{2}\bigr) - \frac{1}{2}\bigl(x^{2}\sin(x^{2}) + \cos(x^{2})\bigr) + C = -\frac{1}{2}\cos\bigl(x^{2}\bigr) + C.

Passo 7

Agora é só avaliar de 0 a \sqrt{\pi}:
\int_{0}^{\sqrt{\pi}} x \operatorname{sen}\bigl(x^{2}\bigr)\,dx = \Bigl[-\tfrac{1}{2}\cos(x^{2})\Bigr]_{0}^{\sqrt{\pi}} = -\frac{1}{2}\cos(\pi) + \frac{1}{2}\cos(0) = -\frac{1}{2}(-1) + \frac{1}{2}(1) = 1.

Resposta

1

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