Identifique o domínio e imagem das seguintes funções. Prove que que os conjuntos identificados são de fato o domínio e imagem dessas funções.
f(x)=\frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x^{2}-1}}.

Passo 1

O enunciado pede para identificar o domínio e a imagem da função
f(x) = \frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x^{2}-1}}
Vamos usar as condições para raízes quadradas (radicando não negativo) e para frações (denominador não nulo), além de manipular algebricamente a expressão para achar a forma simplificada e estudar os limites.

Passo 2

Determinação do domínio.
  1. Da raiz no numerador precisamos de
x-1 \ge 0 \quad\Longrightarrow\quad x \ge 1.
  1. Da raiz no denominador precisamos de
x^{2}-1 > 0 \quad\Longrightarrow\quad x^{2} > 1 \quad\Longrightarrow\quad x>1\\ \text{ou}\\ x<-1.
Combine as duas condições: x\ge1 e \bigl(x>1\\ \text{ou}\\ x<-1\bigr). A interseção dá x>1.
Logo o domínio é (1,\infty).

Passo 3

Simplificação de f(x) em (1,\infty).
Para x>1 temos x-1>0 e x+1>0, então
x^{2}-1 = (x-1)(x+1)
e
f(x) = \frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{(x-1)(x+1)}} = \frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x-1}\,\sqrt{x+1}} = \frac{1}{\sqrt{x+1}}.

Passo 4

Determinação da imagem usando a forma \displaystyle f(x)=\frac1{\sqrt{x+1}}.
Para x>1 temos x+1>2, logo \sqrt{x+1}> \sqrt{2}.
Assim
0 < \frac1{\sqrt{x+1}} < \frac1{\sqrt{2}}.
Estudando os limites:
\lim_{x\to1^+}f(x) = \frac1{\sqrt{1+1}} = \frac1{\sqrt{2}}, \qquad \lim_{x\to+\infty}f(x) = 0.
Nem 0 nem 1/\sqrt2 são atingidos, apenas aproximados.

Passo 5

Prova de que todo valor y em \bigl(0,1/\sqrt2\bigr) é realmente atingido por algum x no domínio.
Dada y\in\bigl(0,1/\sqrt2\bigr), resolvemos
y = \frac1{\sqrt{x+1}} \quad\Longrightarrow\quad \sqrt{x+1} = \frac1{y} \quad\Longrightarrow\quad x+1 = \frac1{y^{2}} \quad\Longrightarrow\quad x = \frac1{y^{2}} - 1.
Como 0<y<1/\sqrt2 temos 1/y^{2}>2, logo x>1. Isso mostra que para cada y\in(0,1/\sqrt2) existe x\in(1,\infty) com f(x)=y. Portanto a imagem é exatamente (0,1/\sqrt2).

Resposta

Domínio: \,(1,\infty).\
Imagem: \,(0,\tfrac1{\sqrt2}).

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