Identifique o domínio e imagem das seguintes funções. Prove que que os conjuntos identificados são de fato o domínio e imagem dessas funções.
.
Passo 1
O enunciado pede para identificar o domínio e a imagem da função
Vamos usar as condições para raízes quadradas (radicando não negativo) e para frações (denominador não nulo), além de manipular algebricamente a expressão para achar a forma simplificada e estudar os limites.
Passo 2
Determinação do domínio.
- Da raiz no numerador precisamos de
- Da raiz no denominador precisamos de
Combine as duas condições:
e
. A interseção dá
Logo o domínio é .
Logo o domínio é
Passo 3
Simplificação de
em
.
Para temos
e
, então
Para
e
Passo 4
Determinação da imagem usando a forma
.
Para temos
, logo
.
Assim
Para
Assim
Estudando os limites:
Nem
nem
são atingidos, apenas aproximados.
Passo 5
Prova de que todo valor
em
é realmente atingido por algum
no domínio.
Dada , resolvemos
Dada
Como
temos
, logo
. Isso mostra que para cada
existe
com
. Portanto a imagem é exatamente
.
Resposta
Domínio:
.\
Imagem: .
Imagem: