Identifique o domínio e imagem das seguintes funções. Prove que que os conjuntos identificados são de fato o domínio e imagem dessas funções.
f(x)=\sqrt{1-x^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede o domínio e a imagem da função
f(x)=\sqrt{1-x^{2}}.
Para encontrar o domínio, devemos garantir que o radicando 1-x^{2} seja não negativo. Para a imagem, vamos analisar os valores que f(x) assume quando x percorre esse domínio.

Passo 2

Impondo a existência da raiz, temos
1 - x^{2} \ge 0.
Isso equivale à inequação quadrática
-x^{2} \ge -1 \quad\Longleftrightarrow\quad x^{2} \le 1 \quad\Longleftrightarrow\quad -1 \le x \le 1.

Passo 3

Logo, o domínio de f é
D = \{\,x\in\mathbb{R}\mid -1\le x\le1\} = [-1,1].

Passo 4

Para todo x\in[-1,1], tem-se
1 - x^{2}\in[0,1],
portanto
f(x)=\sqrt{1-x^{2}}\in[0,1].
Além disso, em x=0 atinge o valor máximo \sqrt{1}=1 e em x=\pm1 atinge o mínimo \sqrt{0}=0.

Passo 5

Para mostrar que todo y\in[0,1] é valor de f, basta escolher
x = \sqrt{1-y^{2}} \quad\text{ou}\quad x = -\sqrt{1-y^{2}},
que satisfazem -1\le x\le1 e
f(x) = \sqrt{1 - (\pm\sqrt{1-y^{2}})^{2}} = \sqrt{y^{2}} = y.
Assim, [0,1] é a imagem de f.

Resposta

Domínio: [-1,1]
Imagem: [0,1]

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