Questão 9. Calcular a altura da água em um canal circular, de concreto (
), com diâmetro de
, declividade de
, conduzindo
. [R: 1 m ]
Passo 1
O enunciado pede: calcular a altura da água (profundidade de escoamento) em um canal circular de concreto com os seguintes dados:
O que devemos encontrar é a profundidade
da lâmina d’água (medida a partir do ponto mais baixo do tubo até a superfície livre) que faz com que o canal conduza a vazão
dada.
Passo 2
Conceitos e fórmulas necessários (explicação didática):
- Para escoamento em canal aberto usamos a fórmula de Manning:
onde:
-
é a vazão ( ), -
é o coeficiente de rugosidade de Manning (adimensional), -
é a área molhada do escoamento ( ), -
é o raio hidráulico ( , em , sendo o perímetro molhado), -
é a declividade da linha de energia (aqui igual à declividade do fundo), e . -
No caso de um canal circular parcialmente cheio, é prático usar o ângulo central que descreve a seção molhada. Definimos
como o ângulo central (em radianos) subtendido pela superfície livre, com . As relações geométricas (derivadas do setor circular menos o triângulo) são:
- A profundidade
está relacionada com por:
Explicação rápida: quando
temos
(vazio) e quando
temos
(cheio).
Passo 3
Montando a equação de vazão em função de
:
Substituímos e
em Manning.
Primeiro calculemos constantes conhecidas:
Substituímos
Primeiro calculemos constantes conhecidas:
Então
Agora substituímos
e
, onde
. Assim:
Calculando a constante numérica com
:
logo podemos escrever, de forma conveniente,
Esta é a equação que devemos resolver numericamente para
tal que
.
Passo 4
Estratégia numérica (explicação didática):
- Não existe expressão algébrica simples para isolarmos
nesta equação, por isso usamos tentativa/iteração (método de bisseção, interpolação linear ou Newton). Vou usar tentativa guiada + interpolação linear entre dois valores de (ou ) porque é simples e suficiente para obter a precisão pedida. - Procedimento prático (o que faria na prova sem calculadora simbólica):
- Escolho um palpite para
. - Calculo
. - Calculo
. - Calculo
. - Ajusto
até ficar igual a .
- Escolho um palpite para
Passo 5
Primeira tentativa com
(palpite razoável porque o resultado esperado é perto disso):
Calculemos
:
Agora
:
Comparando:
é ligeiramente maior que
, portanto o palpite
produz uma vazão um pouco acima do alvo (diferença
).
Passo 6
Verificação com duas outras profundidades para interpolar e melhorar a precisão:
- Para
: calculos dão (menor que ). - Para
: calculos dão (maior que ).
Observamos que
cresce com
e que a solução está entre
e
. Usando interpolação linear simples entre os pontos
e
para atingir
, temos:
Portanto a profundidade procurada é aproximadamente
, muito próxima de
.
Passo 7
Conclusão e arredondamento (motivação didática):
- O procedimento mostra que a profundidade que satisfaz
é . - Na prática (prova, tabelas e tolerância de cálculo), arredondamos para
, que é o valor informado como resposta pelo enunciado. - Observação final: se for necessária maior precisão, pode-se aplicar Newton-Raphson sobre a equação em
ou repetir mais iterações de interpolação; aqui a precisão a três algarismos é suficiente.