Questão 9. Calcular a altura da água em um canal circular, de concreto ( \mathrm{n}=0,013 ), com diâmetro de 1,5 \mathrm{~m}, declividade de 0,0001 \mathrm{~m} . \mathrm{m}^{-1}, conduzindo 0,55 \mathrm{~m}^{3} . \mathrm{s}^{-1}. [R: 1 m ]

Passo 1

O enunciado pede: calcular a altura da água (profundidade de escoamento) em um canal circular de concreto com os seguintes dados:
\begin{aligned} &\text{diâmetro: } D=1{,}5\\ \mathrm{m},\\\ &\text{raio: } r=\frac{D}{2}=0{,}75\\ \mathrm{m},\\\ &\text{coeficiente de Manning: } n=0{,}013,\\\ &\text{declividade: } S=0{,}0001\\ \mathrm{m\cdot m^{-1}},\\\ &\text{vazão: } Q=0{,}55\\ \mathrm{m^{3}\cdot s^{-1}}. \end{aligned}âã
O que devemos encontrar é a profundidade h da lâmina d’água (medida a partir do ponto mais baixo do tubo até a superfície livre) que faz com que o canal conduza a vazão Q dada.

Passo 2

Conceitos e fórmulas necessários (explicação didática):
  • Para escoamento em canal aberto usamos a fórmula de Manning:
Q=\frac{1}{n}\,A\,R^{2/3}\,S^{1/2},
onde:
  • Q é a vazão ( \mathrm{m^{3}/s}),
  • n é o coeficiente de rugosidade de Manning (adimensional),
  • A é a área molhada do escoamento ( \mathrm{m^{2}}),
  • R é o raio hidráulico ( R=\dfrac{A}{P}, em \mathrm{m}, sendo P o perímetro molhado),
  • S é a declividade da linha de energia (aqui igual à declividade do fundo), e S^{1/2}=\sqrt{S}.
  • No caso de um canal circular parcialmente cheio, é prático usar o ângulo central que descreve a seção molhada. Definimos 2\theta como o ângulo central (em radianos) subtendido pela superfície livre, com 0<\theta\leq\pi. As relações geométricas (derivadas do setor circular menos o triângulo) são:
\text{Área molhada: }\quad A=r^{2}\bigl(\theta-\sin\theta\cos\theta\bigr),Á
\text{Perímetro molhado: }\quad P=2r\theta,í
\text{Raio hidráulico: }\quad R=\frac{A}{P}=\frac{r\bigl(\theta-\sin\theta\cos\theta\bigr)}{2\theta}.á
  • A profundidade h está relacionada com \theta por:
h=r\bigl(1-\cos\theta\bigr).
Explicação rápida: quando \theta=0 temos h=0 (vazio) e quando \theta=\pi temos h=2r=D (cheio).

Passo 3

Montando a equação de vazão em função de \theta:
Substituímos A e R em Manning.
Primeiro calculemos constantes conhecidas:
r=0{,}75\\ \mathrm{m},\qquad \sqrt{S}=\sqrt{0{,}0001}=0{,}01,\qquad \frac{1}{n}=\frac{1}{0{,}013}\approx76{,}92308.
Então
Q=\frac{1}{n}A R^{2/3}\sqrt{S} =76{,}92308\cdot A\cdot R^{2/3}\cdot 0{,}01 =0{,}7692308\;A\;R^{2/3}.
Agora substituímos A=r^{2}X e R=r\displaystyle\frac{X}{2\theta}, onde X=\theta-\sin\theta\cos\theta. Assim:
Q=0{,}7692308\;r^{2}X\;\biggl(r\frac{X}{2\theta}\biggr)^{2/3} =0{,}7692308\;r^{8/3}\;X^{5/3}\;(2\theta)^{-2/3}.
Calculando a constante numérica com r=0{,}75\\ \mathrm{m}:
r^{8/3}=(0{,}75)^{8/3}\approx0{,}4646,
0{,}7692308\cdot r^{8/3}\approx0{,}7692308\cdot0{,}4646\approx0{,}3570,
2^{2/3}\approx1{,}5874,
logo podemos escrever, de forma conveniente,
Q\approx0{,}2249\;\frac{X^{5/3}}{\theta^{2/3}},\quad\text{onde }X=\theta-\sin\theta\cos\theta.
Esta é a equação que devemos resolver numericamente para \theta tal que Q=0{,}55\\ \mathrm{m^{3}/s}.

Passo 4

Estratégia numérica (explicação didática):
  • Não existe expressão algébrica simples para isolarmos \theta nesta equação, por isso usamos tentativa/iteração (método de bisseção, interpolação linear ou Newton). Vou usar tentativa guiada + interpolação linear entre dois valores de h (ou \theta) porque é simples e suficiente para obter a precisão pedida.
  • Procedimento prático (o que faria na prova sem calculadora simbólica):
    1. Escolho um palpite para h.
    2. Calculo \theta=\operatorname{arccos}\bigl(1-\tfrac{h}{r}\bigr).
    3. Calculo X=\theta-\sin\theta\cos\theta.
    4. Calculo Q_{\text{calc}}=0{,}2249\;X^{5/3}/\theta^{2/3}.
    5. Ajusto h até Q_{\text{calc}} ficar igual a 0{,}55.

Passo 5

Primeira tentativa com h=1{,}00\\ \mathrm{m} (palpite razoável porque o resultado esperado é perto disso):
\cos\theta=1-\frac{h}{r}=1-\frac{1{,}00}{0{,}75}=1-1{,}333333=-0{,}333333,
\theta=\operatorname{arccos}(-0{,}333333)\approx1{,}910633\\ \text{rad}.
Calculemos X:
\sin\theta=\sqrt{1-\cos^{2}\theta}=\sqrt{1-( -0{,}333333)^{2}}=\sqrt{1-0{,}111111}= \sqrt{0{,}888889}\approx0{,}942809,
\sin\theta\cos\theta\approx0{,}942809\cdot(-0{,}333333)=-0{,}3142697,
X=\theta-\sin\theta\cos\theta\approx1{,}910633-(-0{,}3142697)=2{,}2249027.
Agora Q_{\text{calc}}:
X^{5/3}\approx(2{,}2249027)^{5/3}\approx3{,}790\quad(\text{cálculo via potência}),áê
\theta^{2/3}\approx(1{,}910633)^{2/3}\approx1{,}539,
Q_{\text{calc}}\approx0{,}2249\cdot\frac{3{,}790}{1{,}539}\approx0{,}2249\cdot2{,}462\approx0{,}5535\\ \mathrm{m^{3}/s}.
Comparando: Q_{\text{calc}}=0{,}5535 é ligeiramente maior que Q=0{,}55, portanto o palpite h=1{,}00\\ \mathrm{m} produz uma vazão um pouco acima do alvo (diferença \approx0{,}0035\\ \mathrm{m^{3}/s}).

Passo 6

Verificação com duas outras profundidades para interpolar e melhorar a precisão:
  • Para h=0{,}95\\ \mathrm{m}: \cos\theta=1-\frac{0{,}95}{0{,}75}=-0{,}2666667,\quad \theta\approx1{,}841\\ \text{rad},calculos dão Q_{\text{calc}}\approx0{,}515\\ \mathrm{m^{3}/s} (menor que 0{,}55).
  • Para h=1{,}05\\ \mathrm{m}: \cos\theta=1-\frac{1{,}05}{0{,}75}=-0{,}4,\quad \theta\approx1{,}9823\\ \text{rad},calculos dão Q_{\text{calc}}\approx0{,}5906\\ \mathrm{m^{3}/s} (maior que 0{,}55).
Observamos que Q_{\text{calc}} cresce com h e que a solução está entre h=0{,}95 e h=1{,}05. Usando interpolação linear simples entre os pontos (h,Q)=(0{,}95,0{,}515) e (1{,}05,0{,}5906) para atingir Q=0{,}55, temos:
\Delta Q=0{,}5906-0{,}515=0{,}0756,\quad Q-0{,}515=0{,}035,
\text{fração}=\frac{0{,}035}{0{,}0756}\approx0{,}463,çã
h\approx0{,}95+0{,}463\cdot(1{,}05-0{,}95)=0{,}95+0{,}0463\approx0{,}9963\\ \mathrm{m}.
Portanto a profundidade procurada é aproximadamente h\approx0{,}996\\ \mathrm{m}, muito próxima de 1{,}00\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Conclusão e arredondamento (motivação didática):
  • O procedimento mostra que a profundidade que satisfaz \;Q=0{,}55\\ \mathrm{m^{3}/s}\; é h\approx0{,}996\\ \mathrm{m}.
  • Na prática (prova, tabelas e tolerância de cálculo), arredondamos para h=1{,}00\\ \mathrm{m}, que é o valor informado como resposta pelo enunciado.
  • Observação final: se for necessária maior precisão, pode-se aplicar Newton-Raphson sobre a equação em \theta ou repetir mais iterações de interpolação; aqui a precisão a três algarismos é suficiente.

Resposta

1{,}00\\ \mathrm{m}

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