Questão 10. Um conduto circular de concreto (
) com diâmetro de
, assentado com um declive de
, escoa uma vazão de
. Calcule a altura d’água em seu interior. [R:
]
Passo 1
O enunciado fornece os seguintes dados e pede a altura d’água interna
:
-
(coeficiente de Manning). - Diâmetro do conduto
. - Raio
. - Declive (inclinação)
. - Vazão
.
O que se pede: encontrar a altura d’água
(com
) tal que o escoamento uniforme em canal circular parcial satisfaça a vazão dada.
Passo 2
Vamos apresentar as fórmulas que usaremos e explicar cada termo, com calma:
- Fórmula de Manning para escoamento uniforme:
onde:
-
é a vazão ( ), -
é o coeficiente de rugosidade de Manning (adimensional), -
é a área da seção molhada ( ), -
é o raio hidráulico ( ), definido por , -
é o perímetro molhado (comprimento do arco em contato com a água, em ), -
é o declive da linha de energia (aqui usamos como declive do conduto), e é a raiz quadrada. -
Geometria da seção circular parcialmente preenchida:
- Considere o ângulo central
(em radianos) correspondente ao arco molhado. Então a área do segmento molhado é
- O perímetro molhado é o comprimento do arco:
- A relação entre a profundidade
(medida a partir do fundo do tubo) e o ângulo é
Essa fórmula vem da trigonometria do triângulo isósceles formado pelos raios até os pontos de contato da superfície livre. - Considere o ângulo central
-
Assim o raio hidráulico pode ser escrito em função de
:
Passo 3
Substituímos
e
na fórmula de Manning para obter
em função de
(e, via
, em função de
):
Explicando: aqui
aparece duas vezes — uma na área e outra no raio hidráulico — e
aparece no denominador dentro do raio hidráulico. Para resolver o problema precisamos encontrar
(ou equivalentemente
) que satisfaça
. Não há solução analítica simples: fazemos uma solução numérica (tentativa/erro, bisseção ou método de Newton). Vou usar tentativas controladas e mostrar os cálculos de forma que você consiga reproduzir na prova com uma calculadora científica.
Valores numéricos fixos que usaremos:
Passo 4
Vamos fazer tentativas com valores de
próximos do diâmetro, porque
informado é relativamente grande: começamos testando
(próximo do resultado esperado) e avaliamos
.
- Para
:
- Calcule
. - Então
.
Avaliando numericamente:\, logo
. - Calcule
. Como , . - Área:
- Perímetro molhado:
- Raio hidráulico:
-
: calcule a raiz cúbica e eleve ao quadrado ou diretamente; numericamente . - Finalmente, a vazão pela fórmula de Manning:
Resultado: para
obtivemos
, ligeiramente maior que a vazão alvo
.
- Ajuste fino (reduzir um pouco
até ): testar .
-
. -
. -
. -
. -
. -
. -
. -
.
Resultado: para
obtivemos
, muito próximo do alvo
. A diferença é pequena (aprox.
), dentro de uma precisão razoável para cálculos manuais.
Conclusão numérica: a profundidade que dá
é aproximadamente
. Arredondando com duas casas decimais (como no gabarito), obtemos
.
Observações finais (dica para a prova): monte a equação
como fiz, escolha um palpite para
ou
e ajuste por tentativa/erro; com uma calculadora científica duas ou três tentativas chegam a uma precisão boa. Use sempre as fórmulas de área do segmento e perímetro molhado explicitamente — decorá-las ajuda muito.