Questão 2(5,0)

Calcular o valor de h acima do qual a comporta articulada A O B começa a abrir. Desprezar o atrito no eixo de rotação \mathrm{O} . \mathrm{O} peso da comporta é P , estando aplicada em O e a sua largura é L .

Passo 1

O enunciado pede: “Calcular o valor de h acima do qual a comporta articulada AOB começa a abrir.”
Dados explícitos e suposições necessárias (vou explicitar para não deixar nada ambíguo):
  • A comporta é uma placa plana retangular articulada em O.
  • O peso da comporta é \;P (força vertical para baixo).
  • A “largura” da comporta é \;L; aqui vou interpretar L como a distância medida ao longo da comporta desde a articulação O até a linha média da placa (ou, de modo usual, a dimensão no sentido da rotação), de modo que o centro de gravidade da placa esteja a uma distância \;L/2 de O.
  • Não há atrito no eixo em O.
  • O líquido exerce pressão hidrostática até uma altura \;h medida a partir da superfície livre até a borda mais profunda da placa (ou seja, a placa está imersa até profundidade \;h).
  • Vou chamar o peso específico do líquido de \;\gamma (ou seja, \gamma=\rho g). O enunciado não deu \gamma, então a resposta ficará em função de \gamma.
    Pergunta: determinar o valor crítico de \;h a partir do qual a resultante da pressão hidrostática produz momento suficiente para vencer o momento estabilizador do peso e, assim, a comporta começar a abrir.

Passo 2

Conceito básico da pressão hidrostática que vamos usar: a pressão em um ponto a profundidade \;y abaixo da superfície livre é dada por
p(y)=\gamma\,y,
onde \gamma é o peso específico do líquido e y é a profundidade (distância vertical desde a superfície). Essa pressão varia linearmente com y, gerando sobre a placa uma distribuição triangular de pressão.

Passo 3

Cálculo da força resultante da pressão sobre a placa (assumindo unidade de largura no sentido perpendicular à página, ou que \;L já representa a dimensão relevante): a área projetada da placa imersa até profundidade \;h é A = h\cdot 1 = h. A força resultante sobre uma superfície plana é igual ao peso do fluido correspondente ao produto da pressão média pela área; também pode ser obtida pela fórmula
F=\gamma \, A \, y_c,
onde y_c é a profundidade do centróide da área em relação à superfície livre. Para uma placa retangular com topo na superfície livre e altura \;h tem-se y_c = h/2. Portanto
F = \gamma \, (h) \left(\frac{h}{2}\right) = \frac{\gamma\,h^{2}}{2}.
Explicação curta: a distribuição de pressão é triangular (zero no topo, \gamma h na base), o valor médio da pressão é \gamma h/2; multiplicando pela área h \gamma h^2/2.

Passo 4

Posição da linha de ação da força resultante: para uma distribuição triangular de intensidade linear desde zero até \gamma h, a resultante atua a uma distância \;y_R abaixo da superfície dada por y_R = h/3 (centro de área do triângulo de pressões). Portanto a força F aplicada no ponto localizado a \;h/3 abaixo da superfície produz momento em relação à articulação O.

Passo 5

Momento da força hidrostática em torno do ponto de articulação O: multiplicamos a resultante F pela alavanca y_R:
M_{\text{hidro}} = F \cdot y_R = \left(\frac{\gamma\,h^{2}}{2}\right)\left(\frac{h}{3}\right) = \frac{\gamma\,h^{3}}{6}.
Esse momento tende a abrir (girar) a comporta.

Passo 6

Momento resistente devido ao peso da comporta: o peso \;P atua no centro da placa, que está a distância \;L/2 da articulação O. Esse peso produz um momento estabilizador (que tende a manter a comporta fechada) igual a
M_{\text{peso}} = P \cdot \frac{L}{2}.

Passo 7

Condição de abertura: a comporta começa a abrir quando o momento hidrostático supera (ou iguala, no caso crítico) o momento resistente do peso. No limite de abertura igualamos os momentos:
M_{\text{hidro}} = M_{\text{peso}}.
Substituindo as expressões obtidas:
\frac{\gamma\,h^{3}}{6} = P\cdot\frac{L}{2}.
Resolver para \;h: multiplicando ambos os lados por 6,
\gamma\,h^{3} = 3 P L.
Logo
h^{3} = \frac{3 P L}{\gamma}
e tomando a raiz cúbica,
h = \left(\frac{3 P L}{\gamma}\right)^{1/3}.

Resposta

h=\left(\frac{3PL}{\gamma}\right)^{1/3}

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