Questão
Calcular o valor de
acima do qual a comporta articulada
começa a abrir. Desprezar o atrito no eixo de rotação
peso da comporta é P , estando aplicada em O e a sua largura é L .
Passo 1
O enunciado pede: “Calcular o valor de
acima do qual a comporta articulada
começa a abrir.”
Dados explícitos e suposições necessárias (vou explicitar para não deixar nada ambíguo):
Dados explícitos e suposições necessárias (vou explicitar para não deixar nada ambíguo):
- A comporta é uma placa plana retangular articulada em
. - O peso da comporta é
(força vertical para baixo). - A “largura” da comporta é
; aqui vou interpretar como a distância medida ao longo da comporta desde a articulação até a linha média da placa (ou, de modo usual, a dimensão no sentido da rotação), de modo que o centro de gravidade da placa esteja a uma distância de . - Não há atrito no eixo em
. - O líquido exerce pressão hidrostática até uma altura
medida a partir da superfície livre até a borda mais profunda da placa (ou seja, a placa está imersa até profundidade ). - Vou chamar o peso específico do líquido de
(ou seja, ). O enunciado não deu , então a resposta ficará em função de .
Pergunta: determinar o valor crítico dea partir do qual a resultante da pressão hidrostática produz momento suficiente para vencer o momento estabilizador do peso e, assim, a comporta começar a abrir.
Passo 2
Conceito básico da pressão hidrostática que vamos usar: a pressão em um ponto a profundidade
abaixo da superfície livre é dada por
onde
é o peso específico do líquido e
é a profundidade (distância vertical desde a superfície). Essa pressão varia linearmente com
, gerando sobre a placa uma distribuição triangular de pressão.
Passo 3
Cálculo da força resultante da pressão sobre a placa (assumindo unidade de largura no sentido perpendicular à página, ou que
já representa a dimensão relevante): a área projetada da placa imersa até profundidade
é
. A força resultante sobre uma superfície plana é igual ao peso do fluido correspondente ao produto da pressão média pela área; também pode ser obtida pela fórmula
onde
é a profundidade do centróide da área em relação à superfície livre. Para uma placa retangular com topo na superfície livre e altura
tem-se
. Portanto
Explicação curta: a distribuição de pressão é triangular (zero no topo,
na base), o valor médio da pressão é
; multiplicando pela área
dá
.
Passo 4
Posição da linha de ação da força resultante: para uma distribuição triangular de intensidade linear desde zero até
, a resultante atua a uma distância
abaixo da superfície dada por
(centro de área do triângulo de pressões). Portanto a força
aplicada no ponto localizado a
abaixo da superfície produz momento em relação à articulação
.
Passo 5
Momento da força hidrostática em torno do ponto de articulação
: multiplicamos a resultante
pela alavanca
:
Esse momento tende a abrir (girar) a comporta.
Passo 6
Momento resistente devido ao peso da comporta: o peso
atua no centro da placa, que está a distância
da articulação
. Esse peso produz um momento estabilizador (que tende a manter a comporta fechada) igual a
Passo 7
Condição de abertura: a comporta começa a abrir quando o momento hidrostático supera (ou iguala, no caso crítico) o momento resistente do peso. No limite de abertura igualamos os momentos:
Substituindo as expressões obtidas:
Resolver para
: multiplicando ambos os lados por
,
Logo
e tomando a raiz cúbica,