Exercício 2: a fazenda menina, localizado no município de Itapura (SP) possui uma área irrigada de cerca de 1500 ha . Um reservatório elevado, denominado “piscinão”, que fornece água para alguns sistemas tipo pivô central, é abastecido por uma adutora de aço revestido de diâmetro interno de 700 mm e comprimento 2.700 m . Sabendo-se que a vazão da adutora é 2.088 \mathrm{~m} 3 / \mathrm{h}, calcular a perda de carga nela ocorrida pela fórmula universal (Darcy-Weisbach)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a perda de carga na adutora usando a fórmula universal (Darcy–Weisbach). Dados fornecidos pelo enunciado:
D = 700\\ \text{mm} = 0{,}7\\ \text{m}
L = 2700\\ \text{m}
Q = 2{,}088\\ \mathrm{m^3/h}
Não há outra informação fornecida (por exemplo rugosidade do tubo), portanto usarei propriedades da água à temperatura ambiente quando necessário. A grandeza a determinar é a perda de carga por atrito h_f (em metros) na adutora, usando Darcy–Weisbach.

Passo 2

Primeiro converto unidades para o SI e calculo a área da seção transversal do tubo, que é um círculo. A área é dada por
A=\frac{\pi D^2}{4}.
Converto a vazão Q de \mathrm{m^3/h} para \mathrm{m^3/s}:
Q=\frac{2{,}088}{3600} = 0{,}00058\\ \mathrm{m^3/s}.
Agora calculo a área:
A=\frac{\pi(0{,}7)^2}{4}=\pi\cdot 0{,}1225 \approx 0{,}38485\\ \mathrm{m^2}.

Passo 3

Com Q e A eu obtenho a velocidade média V no tubo pela relação de conservação da vazão:
V=\frac{Q}{A}.
Substituindo:
V=\frac{0{,}00058}{0{,}38485}\approx 0{,}0015068\\ \mathrm{m/s}.
Comentário didático: essa é a velocidade média do fluido na seção — bem pequena neste caso.

Passo 4

Para aplicar Darcy–Weisbach preciso do fator de atrito f. A forma de obter f depende do regime de escoamento, avaliado pelo número de Reynolds:
\mathrm{Re}=\frac{V D}{\nu},
onde \nu é a viscosidade cinemática da água. Vou usar \nu=1{,}003\times10^{-6}\\ \mathrm{m^2/s} (aprox. água a 20^\circ\mathrm{C}). Então
\mathrm{Re}=\frac{0{,}0015068\cdot 0{,}7}{1{,}003\times10^{-6}}\approx 1{,}052\times 10^{3}.
Explicação: se \mathrm{Re}<2000 o escoamento é laminar; se \mathrm{Re}\gtrsim2000 pode ser de transição e acima de 4000 é turbulento bem estabelecido. Aqui \mathrm{Re}\approx 1{,}05\times10^3, portanto o escoamento é laminar.

Passo 5

Para escoamento laminar em tubo circular o fator de atrito é dado pela relação simples
f=\frac{64}{\mathrm{Re}}.
Isso vem da solução analítica do perfil de velocidades em escoamento completamente desenvolvido laminar. Calculando:
f=\frac{64}{1{,}052\times 10^3}\approx 0{,}06083.

Passo 6

Agora aplico a fórmula de Darcy–Weisbach para perda de carga por atrito (altura de carga perdida):
h_f = f\,\frac{L}{D}\,\frac{V^2}{2g},
onde g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2} é a aceleração da gravidade. Vou calcular primeiro o termo cinético \dfrac{V^2}{2g}:
\frac{V^2}{2g}=\frac{(0{,}0015068)^2}{2\cdot 9{,}81}\approx 1{,}1578\times 10^{-7}\\ \mathrm{m}.
Também calculo \dfrac{L}{D}:
\frac{L}{D}=\frac{2700}{0{,}7}=3857{,}142857.

Passo 7

Agora monto tudo:
h_f = 0{,}06083 \times 3857{,}142857 \times 1{,}1578\times 10^{-7}.
Calculo passo a passo: 0{,}06083\times 3857{,}142857 \approx 234{,}55. Multiplicando por 1{,}1578\times 10^{-7}
h_f \approx 2{,}716\times 10^{-5}\\ \mathrm{m}.
Isso é a perda de carga em metros — extremamente pequena devido à vazão muito baix a (velocidade muito pequena). Se quiser a perda de carga em pressão, \Delta p=\rho g h_f com \rho\approx1000\\ \mathrm{kg/m^3}:
\Delta p \approx 1000\cdot 9{,}81 \cdot 2{,}716\times 10^{-5}\approx 0{,}267\\ \mathrm{Pa}\approx 2{,}67\times10^{-4}\\ \mathrm{kPa}.

Resposta

h_f \approx 2{,}72\times 10^{-5}\\ \mathrm{m}

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