Considere um aerofólio fino (espessura nula) cuja linha de camber é descrita pela função parabólica
Determine a distribuição da intensidade por unidade de largura da lâmina de vórtice que representa esse aerofólio submetido a um escoamento com velocidade
e ângulo de ataque nulo.
Determine a distribuição de
sobre o aerofólio nesse caso e para um ângulo de ataque
.
Determine a distribuição de
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- Determinar a distribuição da intensidade por unidade de largura da lâmina de vórtice
que representa um aerofólio fino (espessura nula) cuja linha de camber é parabólica e que está submetido a um escoamento com velocidade e ângulo de ataque nulo. - Determinar a distribuição do coeficiente de pressão
sobre o aerofólio nesse caso ( ) e também para um ângulo de ataque .
Informações dadas (vou organizar certinho):
- A linha de camber é dada no enunciado por
. Interpreto como a coordenada adimensional ; portanto isso é equivalente a
onde
é constante e
é o comprimento da corda.
- Velocidade do escoamento uniforme:
. - Queremos
(intensidade por unidade de largura da lâmina de vórtice ao longo da corda ) e (distribuição do coeficiente de pressão) para e para um genérico. - Assumo a teoria do thin airfoil (aerofólio fino), solução pelo método clássico de expansão em
(variável de transformação ). Não uso nenhuma informação externa além do enunciado.
Passo 2
Resumo rápido da equação fundamental da teoria do aerofólio fino (importantíssimo — presta atenção, vou dar a intuição):
- Modelamos o aerofólio por uma lâmina de vórtice distribuída ao longo da corda
com intensidade . - A condição de contorno (componente normal da velocidade na linha de camber nula) leva à equação integral singular
onde
indica valor principal de Cauchy e
é o ângulo de ataque (rad). Explico: o membro esquerdo é a componente normal induzida pela lâmina de vórtice; o direito é a velocidade normal do escoamento livre (projeção do escoamento uniforme mais a inclinação da linha de camber). Essa equação é a que usamos para obter
.
Passo 3
Transformação canônica
(por que fazemos isso?): a integral singular fica muito mais fácil se usarmos a mudança usual
Explicando: com essa mudança, a fronteira
corresponde a
e
corresponde a
. O diferencial é
Também vamos usar as relações inversas úteis:
Passo 4
Forma padrão da solução em série (esta é a fórmula padrão da teoria do aerofólio fino; vou explicar as letras):
- A distribuição
é escrita em termos de como
Aqui
são coeficientes que dependem da geometria da linha de camber e de
. O termo com
contém a singularidade típica próxima às extremidades e os
formam uma base ortogonal. Os coeficientes são dados pelas fórmulas (obtidas ao reduzir a equação integral em funções trigonométricas):
Explico:
aparece porque a condição de fluxo normal envolve a inclinação da camber line; projetando a equação nas funções trigonométricas obtemos essas fórmulas.
Passo 5
Calcular
explicitamente para a parabola
:
Agora expresso isso em função de
. Usando
obtemos
portanto
Isso simplifica muito as integrais dos coeficientes — boa notícia!
Passo 6
Calcular os coeficientes
e
usando
.
Cálculo de
:
Mas
. Logo
Interpretação: a média da inclinação da camber line é zero para essa parabola (simétrica em
), por isso o termo médio não muda
— se
então
.
Cálculo de
para
:
Use a identidade trigonométrica
Integramos de
a
. Para todo inteiro
tem
. O único caso especial é quando
(ou seja
), porque
tem integral
. Assim:
- Para
:
- Para
:
Resumo dos coeficientes:
Passo 7
Substituindo esses
na forma em série obtemos
. Colocando os termos:
Nota: para
esse resultado simplifica para
Essa é a distribuição de intensidade em função de
. Ótimo — já estamos quase lá.
Passo 8
Passar de
para
(expressão em termos da coordenada
ao longo da corda):
- Lembremos que
e .
Primeiro caso:
. Substituindo
em
dá
Portanto, para
:
Caso geral (ângulo
qualquer):
Voltemos à expressão
Voltemos à expressão
Substituindo
e
obtemos:
- Primeiro termo:
- Segundo termo, como já vimos, dá
(ver abaixo — faça com calma):
Diretamente:.
Multiplicando por
temos no total
Ou agrupando:
Observações importantes (pra hora da prova):
- A primeira parcela (que contém
) tem singularidade do tipo perto da borda de fuga/frente dependendo de — isso é típico e esperado. - A segunda parcela (proporcional a
) é regular e atinge máximo no meio da corda (porque é máximo em ).
Passo 9
Relação entre
e o coeficiente de pressão
(explicadinha e útil para a prova):
- Define-se
. - Para pequenas perturbações (thin airfoil) usamos a linearização de Bernoulli:
onde
é a velocidade tangencial na face considerada (superfície superior, por exemplo).
- A lâmina de vórtice cria uma diferença de velocidades entre as faces:
. A média das velocidades é aproximadamente (na aproximação do aerofólio fino). Assim
- Portanto, para a superfície superior:
E, simetricamente,
- Em muitos enunciados (e aqui também) quando pedem
sobre o aerofólio, costuma-se dar o na superfície superior (ou o “valor médio” na linha de camber). Vou apresentar seguindo a convenção (superfície superior). Se quiser o da face inferior, é o sinal oposto.
Passo 10
Substituir
nas fórmulas de
para os dois casos pedidos.
Caso
: usamos
. Assim (superfície superior)
(Aqui
é adimensional; note que não aparece
porque cancelou — resultado depende só de
e da posição
.)
Caso geral
genérico: usamos
. Dividindo por
e trocando sinal:
Novamente, esse é o
na face superior; na face inferior seria o oposto.
Observações finais e dicas para a prova (rápido e motivador):
- Cheque unidades:
faz ter dimensão . As expressões finais são consistentes dimensionalmente. - Se o enunciado pedir
em termos da coordenada adimensional , basta substituir ou reescrever . - Fica esperto com as singularidades em
e (termos com aparecem quando ); isso não significa erro — é comportamento físico típico do modelo de lâmina de vórtice em aerofólios finos.