Considere um aerofólio fino (espessura nula) cuja linha de camber é descrita pela função parabólica
\eta_{c}=k c X(c-x) \quad \mathrm{K} \text { constante }
Determine a distribuição da intensidade por unidade de largura da lâmina de vórtice que representa esse aerofólio submetido a um escoamento com velocidade \mathrm{U}_{\infty} e ângulo de ataque nulo.
Determine a distribuição de \mathrm{C}_{\mathrm{p}} sobre o aerofólio nesse caso e para um ângulo de ataque \alpha.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  1. Determinar a distribuição da intensidade por unidade de largura da lâmina de vórtice \gamma(x) que representa um aerofólio fino (espessura nula) cuja linha de camber é parabólica e que está submetido a um escoamento com velocidade \,U_{\infty}\, e ângulo de ataque nulo.
  2. Determinar a distribuição do coeficiente de pressão \,C_p(x)\, sobre o aerofólio nesse caso ( \alpha=0) e também para um ângulo de ataque \alpha.
Informações dadas (vou organizar certinho):
  • A linha de camber é dada no enunciado por \eta_c = k\,c\,X(c-x). Interpreto X como a coordenada adimensional X=x/c; portanto isso é equivalente a
\eta_c(x)=k\,x(c-x),
onde k é constante e c é o comprimento da corda.
  • Velocidade do escoamento uniforme: \,U_{\infty}\,.
  • Queremos \gamma(x) (intensidade por unidade de largura da lâmina de vórtice ao longo da corda 0<x<c) e C_p(x) (distribuição do coeficiente de pressão) para \alpha=0 e para um \alpha genérico.
  • Assumo a teoria do thin airfoil (aerofólio fino), solução pelo método clássico de expansão em \theta (variável de transformação x\leftrightarrow\theta). Não uso nenhuma informação externa além do enunciado.

Passo 2

Resumo rápido da equação fundamental da teoria do aerofólio fino (importantíssimo — presta atenção, vou dar a intuição):
  • Modelamos o aerofólio por uma lâmina de vórtice distribuída ao longo da corda 0\le x\le c com intensidade \gamma(x).
  • A condição de contorno (componente normal da velocidade na linha de camber nula) leva à equação integral singular
\frac{1}{2\pi}\;\mathrm{P.V.}\int_{0}^{c}\frac{\gamma(\xi)}{x-\xi}\,d\xi \;=\; U_{\infty}\bigg(\alpha - \frac{d\eta_c}{dx}\bigg),
onde \mathrm{P.V.} indica valor principal de Cauchy e \alpha é o ângulo de ataque (rad). Explico: o membro esquerdo é a componente normal induzida pela lâmina de vórtice; o direito é a velocidade normal do escoamento livre (projeção do escoamento uniforme mais a inclinação da linha de camber). Essa equação é a que usamos para obter \gamma.

Passo 3

Transformação canônica x\mapsto\theta (por que fazemos isso?): a integral singular fica muito mais fácil se usarmos a mudança usual
x=\frac{c}{2}(1-\cos\theta),\qquad 0\le\theta\le\pi.
Explicando: com essa mudança, a fronteira x=0 corresponde a \theta=0 e x=c corresponde a \theta=\pi. O diferencial é
\frac{dx}{d\theta}=\frac{c}{2}\sin\theta.
Também vamos usar as relações inversas úteis:
\cos\theta=1-\frac{2x}{c},\qquad \sin\theta=\frac{2}{c}\sqrt{x(c-x)}.

Passo 4

Forma padrão da solução em série (esta é a fórmula padrão da teoria do aerofólio fino; vou explicar as letras):
  • A distribuição \gamma é escrita em termos de \theta como
\gamma(\theta)=2U_{\infty}\left[A_{0}\frac{1+\cos\theta}{\sin\theta}+\sum_{n=1}^{\infty}A_{n}\sin(n\theta)\right].
Aqui A_0,A_1,\dots são coeficientes que dependem da geometria da linha de camber e de \alpha. O termo com A_0 contém a singularidade típica próxima às extremidades e os \sin(n\theta) formam uma base ortogonal. Os coeficientes são dados pelas fórmulas (obtidas ao reduzir a equação integral em funções trigonométricas):
A_{0}=\alpha-\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}\frac{d\eta_c}{dx}\,d\theta,
A_{n}=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}\frac{d\eta_c}{dx}\cos(n\theta)\,d\theta,\qquad n\ge 1.
Explico: \dfrac{d\eta_c}{dx} aparece porque a condição de fluxo normal envolve a inclinação da camber line; projetando a equação nas funções trigonométricas obtemos essas fórmulas.

Passo 5

Calcular \dfrac{d\eta_c}{dx} explicitamente para a parabola \eta_c(x)=k x(c-x):
\frac{d\eta_c}{dx}=k(c-2x).
Agora expresso isso em função de \theta. Usando \cos\theta=1-\dfrac{2x}{c} obtemos
c-2x = c\cos\theta,
portanto
\frac{d\eta_c}{dx}=k\,c\cos\theta.
Isso simplifica muito as integrais dos coeficientes — boa notícia!

Passo 6

Calcular os coeficientes A_0 e A_n usando \dfrac{d\eta_c}{dx}=k c\cos\theta.
Cálculo de A_0:
A_0=\alpha-\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}k c\cos\theta\,d\theta.
Mas \displaystyle\int_0^\pi\cos\theta\,d\theta=0. Logo
A_0=\alpha.
Interpretação: a média da inclinação da camber line é zero para essa parabola (simétrica em x=c/2), por isso o termo médio não muda A_0 — se \alpha=0 então A_0=0.
Cálculo de A_n para n\ge1:
A_n=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}k c\cos\theta\cos(n\theta)\,d\theta.
Use a identidade trigonométrica
\cos\theta\cos(n\theta)=\tfrac{1}{2}\big[\cos((n+1)\theta)+\cos((n-1)\theta)\big].
Integramos de 0 a \pi. Para todo inteiro m\ge1 tem \int_0^\pi\cos(m\theta)\,d\theta=0. O único caso especial é quando n-1=0 (ou seja n=1), porque \cos(0\cdot\theta)=1 tem integral \pi. Assim:
  • Para n=1:
A_1=\frac{2}{\pi}\,k c\int_0^\pi\cos^2\theta\,d\theta =\frac{2}{\pi}\,k c\cdot\frac{\pi}{2}=k c.
  • Para n\ge2:
A_n=0.
Resumo dos coeficientes:
A_0=\alpha,\qquad A_1=k c,\qquad A_n=0\quad(n\ge2).

Passo 7

Substituindo esses A na forma em série obtemos \gamma(\theta). Colocando os termos:
\gamma(\theta)=2U_{\infty}\!\left[\alpha\frac{1+\cos\theta}{\sin\theta}+k c\sin\theta\right].
Nota: para \alpha=0 esse resultado simplifica para
\gamma(\theta)=2U_{\infty}k c\sin\theta.
Essa é a distribuição de intensidade em função de \theta. Ótimo — já estamos quase lá.

Passo 8

Passar de \gamma(\theta) para \gamma(x) (expressão em termos da coordenada x ao longo da corda):
  • Lembremos que \sin\theta=\dfrac{2}{c}\sqrt{x(c-x)} e \cos\theta=1-\dfrac{2x}{c}.
Primeiro caso: \alpha=0. Substituindo \sin\theta em \gamma(\theta)=2U_{\infty}k c\sin\theta
\gamma(x)=2U_{\infty}k c\cdot\frac{2}{c}\sqrt{x(c-x)} = 4U_{\infty}k\sqrt{x(c-x)}.
Portanto, para \alpha=0:
\boxed{\gamma(x)=4U_{\infty}k\sqrt{x(c-x)},\qquad 0<x<c.}
Caso geral (ângulo \alpha qualquer):
Voltemos à expressão
\gamma(\theta)=2U_{\infty}\!\left[\alpha\frac{1+\cos\theta}{\sin\theta}+k c\sin\theta\right].
Substituindo \cos\theta=1-2x/c e \sin\theta=\dfrac{2}{c}\sqrt{x(c-x)} obtemos:
  • Primeiro termo:
\alpha\frac{1+\cos\theta}{\sin\theta} = \alpha\frac{2(1-x/c)}{\sin\theta} = \alpha\frac{2(c-x)/c}{\dfrac{2}{c}\sqrt{x(c-x)}} = \alpha\frac{c-x}{\sqrt{x(c-x)}}.
  • Segundo termo, como já vimos, dá k c\sin\theta = 2k\sqrt{x(c-x)}\cdot c/c = 2k\sqrt{x(c-x)}\cdot (ver abaixo — faça com calma):
    Diretamente: k c\sin\theta = k c\cdot \dfrac{2}{c}\sqrt{x(c-x)} = 2k\sqrt{x(c-x)}.
Multiplicando por 2U_{\infty} temos no total
\gamma(x)=2U_{\infty}\left[\alpha\frac{c-x}{\sqrt{x(c-x)}} + 2k\sqrt{x(c-x)}\right].
Ou agrupando:
\boxed{\gamma(x)=2U_{\infty}\,\alpha\frac{c-x}{\sqrt{x(c-x)}} \;+\;4U_{\infty}k\sqrt{x(c-x)},\qquad 0<x<c.}
Observações importantes (pra hora da prova):
  • A primeira parcela (que contém \alpha) tem singularidade do tipo 1/\sqrt{x} perto da borda de fuga/frente dependendo de x — isso é típico e esperado.
  • A segunda parcela (proporcional a k) é regular e atinge máximo no meio da corda x=c/2 (porque \sqrt{x(c-x)} é máximo em x=c/2).

Passo 9

Relação entre \gamma(x) e o coeficiente de pressão C_p(x) (explicadinha e útil para a prova):
  • Define-se C_p=(p-p_\infty)/( \tfrac12\rho U_\infty^2).
  • Para pequenas perturbações (thin airfoil) usamos a linearização de Bernoulli:
C_p \approx -2\frac{V_t-U_\infty}{U_\infty},
onde V_t é a velocidade tangencial na face considerada (superfície superior, por exemplo).
  • A lâmina de vórtice cria uma diferença de velocidades entre as faces: \gamma(x)=V_{\text{upper}}-V_{\text{lower}}. A média das velocidades é aproximadamente U_\infty (na aproximação do aerofólio fino). Assim
V_{\text{upper}}\approx U_\infty + \frac{\gamma}{2},\qquad V_{\text{lower}}\approx U_\infty - \frac{\gamma}{2}.
  • Portanto, para a superfície superior:
C_{p,\text{upper}} \approx -2\frac{(U_\infty+\gamma/2)-U_\infty}{U_\infty} = -\frac{\gamma}{U_\infty}.
E, simetricamente,
C_{p,\text{lower}} \approx +\frac{\gamma}{U_\infty}.
  • Em muitos enunciados (e aqui também) quando pedem C_p sobre o aerofólio, costuma-se dar o C_p na superfície superior (ou o “valor médio” na linha de camber). Vou apresentar C_p(x) seguindo a convenção C_p(x)=-\gamma(x)/U_\infty (superfície superior). Se quiser o da face inferior, é o sinal oposto.

Passo 10

Substituir \gamma(x) nas fórmulas de C_p para os dois casos pedidos.
Caso \alpha=0: usamos \gamma(x)=4U_{\infty}k\sqrt{x(c-x)}. Assim (superfície superior)
\boxed{C_p(x)=-\frac{\gamma(x)}{U_\infty} = -4k\sqrt{x(c-x)}.}
(Aqui C_p é adimensional; note que não aparece U_\infty porque cancelou — resultado depende só de k e da posição x.)
Caso geral \alpha genérico: usamos
\gamma(x)=2U_{\infty}\alpha\frac{c-x}{\sqrt{x(c-x)}} + 4U_{\infty}k\sqrt{x(c-x)}. Dividindo por U_\infty e trocando sinal:
\boxed{C_p(x)=-\frac{\gamma(x)}{U_\infty} \;=\; -2\alpha\frac{c-x}{\sqrt{x(c-x)}} \;-\;4k\sqrt{x(c-x)}.}
Novamente, esse é o C_p na face superior; na face inferior seria o oposto.
Observações finais e dicas para a prova (rápido e motivador):
  • Cheque unidades: \eta_c=kx(c-x) faz k ter dimensão 1/\text{comprimento}. As expressões finais são consistentes dimensionalmente.
  • Se o enunciado pedir C_p em termos da coordenada adimensional x/c, basta substituir x=(c/2)(1-\cos\theta) ou reescrever \sqrt{x(c-x)}=c\sqrt{(x/c)(1-x/c)}.
  • Fica esperto com as singularidades em x=0 e x=c (termos com 1/\sqrt{x} aparecem quando \alpha\ne0); isso não significa erro — é comportamento físico típico do modelo de lâmina de vórtice em aerofólios finos.

Resposta

\gamma(x)=4U_{\infty}k\sqrt{x(c-x)} para \alpha=0.\n \gamma(x)=2U_{\infty}\alpha\displaystyle\frac{c-x}{\sqrt{x(c-x)}}+4U_{\infty}k\sqrt{x(c-x)} para ângulo \alpha genérico.\n C_p(x)=-4k\sqrt{x(c-x)} para \alpha=0 (superfície superior).\n C_p(x)=-2\alpha\displaystyle\frac{c-x}{\sqrt{x(c-x)}}-4k\sqrt{x(c-x)} para ângulo \alpha genérico (superfície superior).

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