QUESTÃO 1. Calcule a área definida pelas funções f(x)=x^{2} e g(x)=-x^{2}+4 x.
Gabarito: \frac{8}{3} u.a

Passo 1

O enunciado pede a área entre as curvas
f(x)=x^{2}
e
g(x)=-x^{2}+4x
Para isso vamos precisar de dois ingredientes da Cálculo: encontrar os pontos onde as curvas se cruzam e depois calcular a integral definida da diferença g(x)-f(x) nesse intervalo.

Passo 2

Encontrar os pontos de interseção resolvendo
x^{2} = -x^{2} + 4x
Passo a passo:
x^{2} + x^{2} - 4x = 0
2x^{2} - 4x = 0
2x(x - 2) = 0
Logo os pontos são x=0 e x=2.

Passo 3

Determinar qual curva fica acima da outra em [0,2]. Por exemplo em x=1:
f(1)=1^{2}=1,\quad g(1)=-1+4=3
Como g(1)>f(1), temos g(x) acima de f(x) para 0\le x\le2. Então a área procurada é
\text{Área} = \int_{0}^{2}\bigl[g(x)-f(x)\bigr]\,dx.Á

Passo 4

Escrever o integrando e integrar:
g(x)-f(x)=(-x^{2}+4x)-x^{2}=-2x^{2}+4x,
\int(-2x^{2}+4x)\,dx =\int -2x^{2}\,dx + \int 4x\,dx =-2\cdot\frac{x^{3}}{3}+4\cdot\frac{x^{2}}{2} =-\frac{2x^{3}}{3}+2x^{2}.

Passo 5

Avaliar a primitiva de 0 a 2:
\Bigl[-\tfrac{2x^{3}}{3}+2x^{2}\Bigr]_{0}^{2} =\Bigl(-\tfrac{2\cdot 8}{3}+2\cdot4\Bigr)-0 =\Bigl(-\tfrac{16}{3}+8\Bigr) =\tfrac{-16+24}{3} =\tfrac{8}{3}.

Resposta

\displaystyle \tfrac{8}{3} u.a.

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