Classificar cada uma das equações diferenciais dadas:
\frac{d^{2} y}{d t}-t \frac{d y}{d x}-2 y=\sin t

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
\frac{d^{2}y}{dt^{2}} \;-\; t\,\frac{dy}{dt}\;-\;2\,y \;=\;\sin t
e pede para classificá-la. Para isso, vamos examinar (i) a ordem da equação, (ii) se é linear ou não, (iii) se os coeficientes são constantes ou variáveis e (iv) se é homogênea ou não.

Passo 2

A ordem da equação é dada pela maior derivada presente, que é \frac{d^{2}y}{dt^{2}}. Portanto é uma equação de segunda ordem.

Passo 3

A equação é linear pois aparece y, \frac{dy}{dt} e \frac{d^{2}y}{dt^{2}} apenas em forma de soma e produto por funções de t, sem termos como (dy/dt)^2 ou y\cdot(dy/dt).

Passo 4

Os coeficientes das derivadas são 1 para \frac{d^{2}y}{dt^{2}}, -t para \frac{dy}{dt} e -2 para y. Como um deles, -t, depende da variável independente t, dizemos que a equação tem coeficientes variáveis.

Passo 5

O membro direito é \sin t, que não é zero. Logo a equação é não-homogênea.

Resposta

Trata-se de uma equação diferencial ordinária de segunda ordem, linear, não-homogênea com coeficientes variáveis.

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