QUESTÃO 8. Calcule a área definida pela curva \mathrm{y}=\mathrm{x}^{2}-6 \mathrm{x}+5 e pelo eixo x . Faça um esboço do gráfico.
Passo 1
O enunciado pede a área da região limitada pela curva
y = x^2 - 6x + 5
e pelo eixo x. Para isso, vamos precisar:
Encontrar onde a parábola corta o eixo x (raízes da equação).
Determinar em que intervalo a parábola fica abaixo do eixo x.
Calcular a integral definida desse trecho, tomando valor absoluto para obter a área.
Passo 2
Encontrar as raízes de
x^2 - 6x + 5 = 0.
O discriminante é
\Delta = (-6)^2 - 4\cdot1\cdot5 = 36 - 20 = 16.
Logo as raízes são
x = \frac{6 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{6 \pm 4}{2},
isto é,
x_1 = 1 \quad\text{e}\quad x_2 = 5.
Passo 3
Como o coeficiente de x^2 é positivo, a parábola abre para cima. Isso significa que entre x=1 e x=5 ela fica abaixo do eixo x (valores de y são negativos) e fora desse intervalo ela fica acima. A região fechada com o eixo x ocorre exatamente para 1\le x\le5, onde devemos calcular
Esboço do gráfico da parábola:
Para desenhar, primeiro marque a interseção com o eixo y em (0,5), depois as raízes em (1,0) e (5,0) e o vértice em (3,-4). Em seguida trace uma curva em forma de U que passe por (0,5), desça até (3,-4) e volte a subir até (5,0). Esse é o esboço qualitativo da parábola.
Resposta
A área da região limitada pela curva e pelo eixo x é \tfrac{32}{3}.