QUESTÃO 8. Calcule a área definida pela curva \mathrm{y}=\mathrm{x}^{2}-6 \mathrm{x}+5 e pelo eixo x . Faça um esboço do gráfico.

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pela curva
y = x^2 - 6x + 5
e pelo eixo x. Para isso, vamos precisar:
  1. Encontrar onde a parábola corta o eixo x (raízes da equação).
  2. Determinar em que intervalo a parábola fica abaixo do eixo x.
  3. Calcular a integral definida desse trecho, tomando valor absoluto para obter a área.

Passo 2

Encontrar as raízes de
x^2 - 6x + 5 = 0.
O discriminante é
\Delta = (-6)^2 - 4\cdot1\cdot5 = 36 - 20 = 16.
Logo as raízes são
x = \frac{6 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{6 \pm 4}{2},
isto é,
x_1 = 1 \quad\text{e}\quad x_2 = 5.

Passo 3

Como o coeficiente de x^2 é positivo, a parábola abre para cima. Isso significa que entre x=1 e x=5 ela fica abaixo do eixo x (valores de y são negativos) e fora desse intervalo ela fica acima. A região fechada com o eixo x ocorre exatamente para 1\le x\le5, onde devemos calcular
\int_{1}^{5} \bigl|\,x^2 - 6x + 5\bigr|\,dx \;=\; -\int_{1}^{5} \bigl(x^2 - 6x + 5\bigr)\,dx.

Passo 4

Calcular a integral
\int \bigl(x^2 - 6x + 5\bigr)\,dx = \frac{x^3}{3} - 3x^2 + 5x.
Avaliando de 1 a 5:
\left[\frac{x^3}{3} - 3x^2 + 5x\right]_{1}^{5} = \Bigl(\tfrac{125}{3} - 75 + 25\Bigr) - \Bigl(\tfrac{1}{3} - 3 + 5\Bigr) = \Bigl(\tfrac{125}{3} - 50\Bigr) - \Bigl(\tfrac{1}{3} + 2\Bigr) = -\tfrac{25}{3} - \tfrac{7}{3} = -\tfrac{32}{3}.
Como a curva está abaixo do eixo x, a área é o valor absoluto desse resultado:
\text{Área} = -\bigl(-\tfrac{32}{3}\bigr) = \tfrac{32}{3}.Á

Passo 5

Esboço do gráfico da parábola:
Para desenhar, primeiro marque a interseção com o eixo y em (0,5), depois as raízes em (1,0) e (5,0) e o vértice em (3,-4). Em seguida trace uma curva em forma de U que passe por (0,5), desça até (3,-4) e volte a subir até (5,0). Esse é o esboço qualitativo da parábola.

Resposta

A área da região limitada pela curva e pelo eixo x é \tfrac{32}{3}.

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