Dizer se são convergentes ou divergentes as séries:
sumn=1^+infty n r^n, r>0

Passo 1

O enunciado pede para classificar a convergência da série
sumn=1^+infty n,r^n, r>0
O conteúdo aqui é análise de séries numéricas e vamos usar o critério da razão para verificar convergência.

Passo 2

Sejam an = n,r^n. Aplicamos o critério da razão, calculando
L=limntoinfty|an+1an| =limntoinfty(n+1),r^n+1n,r^n =limntoinftyl(1+1nr),r =r
O critério da razão diz que a série converge se L<1 e diverge se L>1.

Passo 3

  • Se r<1, então L=r<1 e a série converge.
  • Se r>1, então L=r>1 e a série diverge.
  • Se r=1, os termos gerais são an=n, que não tendem a zero, então a série também diverge.

Resposta

A série sumn=1^+inftyn,r^n converge apenas para 0<r<1 e diverge para r>=1.

Exercícios relacionados