Questão 3 ( 1,0 ponto). Verifique se a função f(x, y) é contínua na origem (0,0), com
f(x, y)= -3 x^2 y^2+x^3x^2+y^2, & se(x, y) neq(0,0) 0, & se(x, y)=(0,0)

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= -3x^2y^2+x^3x^2+y^2,&se (x,y)neq(0,0),[1ex] 0,&se (x,y)=(0,0),
e nos pede para verificar se f é contínua em (0,0). Em funções de duas variáveis, para mostrar continuidade em (0,0) basta provar que
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=f(0,0)=0
Uma forma prática de avaliar esse limite é usar coordenadas polares.]

Passo 2

Em coordenadas polares, definimos
x = rcostheta, y = rsintheta,
onde r=raizx^2+y^2 e (x,y)to(0,0) equivale a rto0^+. Nesse caso,
x^2+y^2=r^2 e -3x^2y^2+x^3=-3r^4cos^2thetasin^2theta + r^3cos^3theta

Passo 3

Substituindo na definição de f para (x,y)neq(0,0) obtemos
f(x,y) = -3r^4cos^2thetasin^2theta + r^3cos^3thetar^2 = -3r^2cos^2thetasin^2theta + rcos^3theta

Passo 4

Para medir o comportamento quando rto0, tomamos valor absoluto e usamos lvertcosthetarvert<=1, lvertsinthetarvert<=1:
l|f(x,y)r| <= 3r^2l|cos^2thetasin^2thetar| ;+; rl|cos^3thetar| <= 3r^2 + r
Como rto0 faz 3r^2+rto0, concluímos que
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0

Passo 5

Como o limite de f(x,y) em (0,0) é igual a f(0,0)=0, segue que f é contínua na origem.

Resposta

A função f é contínua em (0,0).

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