Questão 3 ( 1,0 ponto). Verifique se a função
é contínua na origem (0,0), com
Passo 1
O enunciado define a função
e nos pede para verificar se
f é contínua em
(0,0) . Em funções de duas variáveis, para mostrar continuidade em
(0,0) basta provar que
Uma forma prática de avaliar esse limite é usar coordenadas polares.]
Passo 2
Em coordenadas polares, definimos
onde
r=raizx^2+y^2 e
(x,y)to(0,0) equivale a
rto0^+ . Nesse caso,
Passo 3
Substituindo na definição de
f para
(x,y)neq(0,0) obtemos
Passo 4
Para medir o comportamento quando
rto0 , tomamos valor absoluto e usamos
lvertcosthetarvert<=1 ,
lvertsinthetarvert<=1 :
Como
rto0 faz
3r^2+rto0 , concluímos que
Passo 5
Como o limite de
f(x,y) em
(0,0) é igual a
f(0,0)=0 , segue que
f é contínua na origem.
Resposta
A função
f é contínua em
(0,0) .