Questão 1: Calcule a derivada das funções a seguir:
f(x)=\operatorname{Sen}\left(3 x^{3}\right)-\operatorname{Cos}\left(5 x^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede claramente: calcular a derivada da função
f(x)=\operatorname{Sen}\left(3 x^{3}\right)-\operatorname{Cos}\left(5 x^{2}\right).
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é dada por uma soma (na verdade diferença) de duas funções trigonométricas compostas por polinômios: uma \operatorname{Sen} de 3x^3 e uma \operatorname{Cos} de 5x^2.
  • Não há valores numéricos específicos de x; o pedido é a expressão geral da derivada f'(x).

Passo 2

Relembrando as regras de derivação que vamos usar — vou explicar cada uma devagar e com exemplo simples.
  1. Regra da cadeia (forma geral). Se g(x)=h(u(x)), então a derivada é
g'(x)=h'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x).
Aqui u(x) é a função interna e h é a externa. Por exemplo, se g(x)=\sin(3x) então u(x)=3x, u'(x)=3 e h'(u)=\cos(u), logo g'(x)=\cos(3x)\cdot 3.
  1. Derivada de seno e cosseno. Para uma função u(x) qualquer vale:
\frac{d}{dx}\bigl[\operatorname{Sen}\bigl(u(x)\bigr)\bigr]=\operatorname{Cos}\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x),
\frac{d}{dx}\bigl[\operatorname{Cos}\bigl(u(x)\bigr)\bigr]=-\operatorname{Sen}\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x).
Note o sinal negativo na derivada do cosseno.
  1. Regra do poder (para polinômios). Se u(x)=x^n então
\frac{d}{dx}x^n = n x^{n-1}.
Mais geral, se u(x)=a x^n com constante a, então u'(x)=a n x^{n-1}.

Passo 3

Identificar as funções internas das duas parcelas e calcular suas derivadas.
  • Para o primeiro termo \operatorname{Sen}\left(3x^{3}\right) a função interna é
u_1(x)=3x^{3}.
Aplicando a regra do poder:
u_1'(x)=3\cdot 3 x^{2}=9x^{2}.
  • Para o segundo termo \operatorname{Cos}\left(5x^{2}\right) a função interna é
u_2(x)=5x^{2}.
Aplicando a regra do poder:
u_2'(x)=5\cdot 2 x=10x.

Passo 4

Derivar o primeiro termo usando regra da cadeia.
\frac{d}{dx}\bigl[\operatorname{Sen}\bigl(3x^{3}\bigr)\bigr] = \operatorname{Cos}\bigl(3x^{3}\bigr)\cdot \frac{d}{dx}\bigl(3x^{3}\bigr).
Substituindo u_1'(x)=9x^{2} obtemos
\frac{d}{dx}\bigl[\operatorname{Sen}\bigl(3x^{3}\bigr)\bigr] = \operatorname{Cos}\bigl(3x^{3}\bigr)\cdot 9x^{2}.

Passo 5

Derivar o segundo termo (lembre que há um sinal negativo na função original).
\frac{d}{dx}\bigl[-\operatorname{Cos}\bigl(5x^{2}\bigr)\bigr] = -\frac{d}{dx}\bigl[\operatorname{Cos}\bigl(5x^{2}\bigr)\bigr].
Usando regra da cadeia para o cosseno:
\frac{d}{dx}\bigl[\operatorname{Cos}\bigl(5x^{2}\bigr)\bigr] = -\operatorname{Sen}\bigl(5x^{2}\bigr)\cdot \frac{d}{dx}\bigl(5x^{2}\bigr).
Substituindo u_2'(x)=10x resulta
\frac{d}{dx}\bigl[\operatorname{Cos}\bigl(5x^{2}\bigr)\bigr] = -\operatorname{Sen}\bigl(5x^{2}\bigr)\cdot 10x.
Voltando ao termo com o sinal negativo:
\frac{d}{dx}\bigl[-\operatorname{Cos}\bigl(5x^{2}\bigr)\bigr] = -\bigl(-\operatorname{Sen}\bigl(5x^{2}\bigr)\cdot 10x\bigr) = 10x\;\operatorname{Sen}\bigl(5x^{2}\bigr).

Passo 6

Somar as derivadas parciais obtidas para formar f'(x).
Primeiro termo: 9x^{2}\operatorname{Cos}\bigl(3x^{3}\bigr).
Segundo termo: 10x\operatorname{Sen}\bigl(5x^{2}\bigr).
Portanto
f'(x)=9x^{2}\operatorname{Cos}\bigl(3x^{3}\bigr)+10x\operatorname{Sen}\bigl(5x^{2}\bigr).
Opcionalmente dá para fatorar x se quiser escrever de forma fatorada:
f'(x)=x\bigl(9x\operatorname{Cos}\bigl(3x^{3}\bigr)+10\operatorname{Sen}\bigl(5x^{2}\bigr)\bigr),
mas a forma expandida já está pronta e clara.

Resposta

f'(x)=9x^{2}\operatorname{Cos}\bigl(3x^{3}\bigr)+10x\operatorname{Sen}\bigl(5x^{2}\bigr)

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