Questão 1: Calcule a derivada das funções a seguir:
Passo 1
O enunciado pede claramente: calcular a derivada da função
.
Informações relevantes fornecidas:
- A função é dada por uma soma (na verdade diferença) de duas funções trigonométricas compostas por polinômios: uma
de e uma de . - Não há valores numéricos específicos de
; o pedido é a expressão geral da derivada .
Passo 2
Relembrando as regras de derivação que vamos usar — vou explicar cada uma devagar e com exemplo simples.
- Regra da cadeia (forma geral). Se
, então a derivada é
Aqui
é a função interna e
é a externa. Por exemplo, se
então
,
e
, logo
.
- Derivada de seno e cosseno. Para uma função
qualquer vale:
Note o sinal negativo na derivada do cosseno.
- Regra do poder (para polinômios). Se
então
Mais geral, se
com constante
, então
.
Passo 3
Identificar as funções internas das duas parcelas e calcular suas derivadas.
- Para o primeiro termo
a função interna é
Aplicando a regra do poder:
- Para o segundo termo
a função interna é
Aplicando a regra do poder:
Passo 4
Derivar o primeiro termo usando regra da cadeia.
Substituindo
obtemos
Passo 5
Derivar o segundo termo (lembre que há um sinal negativo na função original).
Usando regra da cadeia para o cosseno:
Substituindo
resulta
Voltando ao termo com o sinal negativo:
Passo 6
Somar as derivadas parciais obtidas para formar
.
Primeiro termo:
.
Segundo termo: .
Segundo termo:
Portanto
Opcionalmente dá para fatorar
se quiser escrever de forma fatorada:
mas a forma expandida já está pronta e clara.