Questão 1: Calcule a derivada das funções a seguir:
f(x)=\sqrt{9 x^{2}+18 x+9}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(x)=\sqrt{9x^{2}+18x+9}.
Informações dadas:
  • A função está escrita como raiz quadrada de um polinômio: 9x^{2}+18x+9.
  • Precisa-se de f'(x), a derivada em relação a x.
    Não vou resolver nada aqui ainda, apenas deixei claro o que foi pedido e o que temos.

Passo 2

Observação algébrica útil: fatorar e reconhecer quadrado perfeito dentro da raiz. Vou mostrar passo a passo:
9x^{2}+18x+9 = 9\bigl(x^{2}+2x+1\bigr).
Repare que x^{2}+2x+1=(x+1)^{2}. Portanto
9x^{2}+18x+9 = 9(x+1)^{2}.
Esta manipulação é só simplificar a expressão antes de derivar — às vezes simplificar evita confusão na hora da prova.

Passo 3

Usar a identidade \sqrt{a^{2}}=|a| (que é verdadeira para todo a\in\mathbb{R}). Aplicando à nossa função:
f(x)=\sqrt{9(x+1)^{2}}= \sqrt{9}\,\sqrt{(x+1)^{2}} = 3\,|x+1|.
Portanto f(x)=3|x+1|. Isso mostra também que o domínio de f é todo \mathbb{R} (não há restrição, pois o quadrado é sempre \ge0).

Passo 4

Dois caminhos possíveis para derivar: (A) derivar a expressão simplificada 3|x+1| por análise por partes; (B) aplicar regra da cadeia diretamente na forma raiz. Vou explicar a regra da cadeia porque é uma ferramenta que sempre cai na prova.
Regra da cadeia (versão que vamos usar): se f(x)=g(h(x)) e g e h são diferenciáveis onde necessário, então
f'(x)=g'\bigl(h(x)\bigr)\cdot h'(x).
No caso da função raiz, para g(u)=\sqrt{u} com u>0, tem-se
g'(u)=\frac{1}{2\sqrt{u}}.
Aqui u(x)=9x^{2}+18x+9 e u'(x)=18x+18=18(x+1). Vou aplicar isso no passo seguinte.

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia à forma original:
f'(x)=\frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}=\frac{18(x+1)}{2\sqrt{9(x+1)^{2}}}.
Agora simplifico passo a passo. Primeiro o denominador:
\sqrt{9(x+1)^{2}}=3|x+1|.
Substituindo:
f'(x)=\frac{18(x+1)}{2\cdot 3|x+1|}=\frac{18(x+1)}{6|x+1|}.
Dividindo numerador e denominador por 6\): \[f'(x)=3\cdot\frac{x+1}{|x+1|}.
A fração \dfrac{x+1}{|x+1|} é exatamente a função sinal de x+1, que denotarei por \operatorname{sgn}(x+1), definida por
\operatorname{sgn}(t)=\begin{cases} 1, & t>0,\\[4pt] -1, & t<0. \end{cases}
(Atenção: em (t=0] a função sinal não está definida como derivada; veremos isso no próximo passo.)
Portanto, para x\neq-1,
f'(x)=3\,\operatorname{sgn}(x+1).]

Passo 6

Escrevendo em forma mais explícita (peça a peça), para x\neq-1:
  • Se x>-1 então x+1>0 e \operatorname{sgn}(x+1)=1, logo
f'(x)=3.
  • Se x<-1 então x+1<0 e \operatorname{sgn}(x+1)=-1, logo
f'(x)=-3.

Passo 7

Verificar diferenciabilidade no ponto [x=-1). Pelo resultado acima, as derivadas laterais são diferentes:
  • Derivada à direita em -1: \lim_{h\to0^{+}}\dfrac{f(-1+h)-f(-1)}{h} = 3.
  • Derivada à esquerda em -1: \lim_{h\to0^{-}}\dfrac{f(-1+h)-f(-1)}{h} = -3.
Cálculo rápido (usando f(x)=3|x+1| e f(-1)=0):
\frac{f(-1+h)-f(-1)}{h}=\frac{3|h|}{h}=\begin{cases}3,& h>0,\\[4pt]-3,& h<0.\end{cases}
Como as duas derivadas laterais são diferentes, f\] não é diferenciável em \(x=-1.]

Passo 8

Resumo final do que encontramos:
  • Para x>-1: f'(x)=3.
  • Para x<-1: f'(x)=-3.
  • Em x=-1: f' não existe.
Força aí — essa questão é um clássico: simplificar a raiz e lembrar que \sqrt{(\cdot)^2}=|\cdot| salva tempo e revela a não-diferenciabilidade no ponto onde o argumento do valor absoluto é zero.

Resposta

Para x>-1:\;f'(x)=3
Para x<-1:\;f'(x)=-3
Para x=-1:\;f'(x) não existe.

Exercícios relacionados