Questão 1: Calcule a derivada das funções a seguir:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações dadas:
- A função está escrita como raiz quadrada de um polinômio:
. - Precisa-se de
, a derivada em relação a .
Não vou resolver nada aqui ainda, apenas deixei claro o que foi pedido e o que temos.
Passo 2
Observação algébrica útil: fatorar e reconhecer quadrado perfeito dentro da raiz. Vou mostrar passo a passo:
Repare que
. Portanto
Esta manipulação é só simplificar a expressão antes de derivar — às vezes simplificar evita confusão na hora da prova.
Passo 3
Usar a identidade
(que é verdadeira para todo
). Aplicando à nossa função:
Portanto
. Isso mostra também que o domínio de
é todo
(não há restrição, pois o quadrado é sempre
).
Passo 4
Dois caminhos possíveis para derivar: (A) derivar a expressão simplificada
por análise por partes; (B) aplicar regra da cadeia diretamente na forma raiz. Vou explicar a regra da cadeia porque é uma ferramenta que sempre cai na prova.
Regra da cadeia (versão que vamos usar): se
e
e
são diferenciáveis onde necessário, então
No caso da função raiz, para
com
, tem-se
Aqui
e
. Vou aplicar isso no passo seguinte.
Passo 5
Aplicando a regra da cadeia à forma original:
Agora simplifico passo a passo. Primeiro o denominador:
Substituindo:
Dividindo numerador e denominador por
A fração
é exatamente a função sinal de
, que denotarei por
, definida por
(Atenção: em (t=0] a função sinal não está definida como derivada; veremos isso no próximo passo.)
Portanto, para
,
Passo 6
Escrevendo em forma mais explícita (peça a peça), para
:
- Se
então e , logo
- Se
então e , logo
Passo 7
Verificar diferenciabilidade no ponto [x=-1). Pelo resultado acima, as derivadas laterais são diferentes:
- Derivada à direita em
: . - Derivada à esquerda em
: .
Cálculo rápido (usando
e
):
Como as duas derivadas laterais são diferentes,
.]
Passo 8
Resumo final do que encontramos:
- Para
: . - Para
: . - Em
: não existe.
Força aí — essa questão é um clássico: simplificar a raiz e lembrar que
salva tempo e revela a não-diferenciabilidade no ponto onde o argumento do valor absoluto é zero.
Resposta
Para
Para
Para não existe.
Para
Para