Questão 1: Calcule a derivada das funções a seguir:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações dadas:
- A função
está explicitada como soma de dois termos: e . - A tarefa é obter
, ou seja, a derivada de em função de .
Passo 2
O que é a derivada, em palavras simples: a derivada de uma função em um ponto dá a inclinação da reta tangente naquele ponto; quando escrita como função,
dá essa inclinação para cada
. Notação comum:
.
Regras que vamos usar (explicadas de modo prático):
- Regra da soma: a derivada da soma (ou diferença) é a soma (ou diferença) das derivadas. Ou seja,
. - Regra do fator constante: se há uma constante multiplicando, ela sai na frente:
, onde é constante. - Regra da potência (power rule): para
com inteiro positivo, .
Vou aplicar essas regras passo a passo. Para o termo
pode-se usar duas abordagens equivalentes: expandir e derivar termo a termo (método algébrico simples) ou aplicar a regra da cadeia (versão mais geral). Vou mostrar primeiro a expansão (mais direta aqui) e depois confirmar com a regra da cadeia para reforçar.
Passo 3
Expandir o quadrado
(calma, é só a identidade de quadrado da diferença):
Portanto substituindo na função:
Passo 4
Multiplicar o
pelos termos dentro dos parênteses (distributiva):
Logo a função escrita como polinômio fica
Passo 5
Derivar termo a termo usando a regra da potência e a regra do fator constante:
- Para
: aplicar e multiplicar por , obtendo . - Para
: , multiplicando por dá . - Para
: derivada de é , então . - Para
: constante, derivada é .
Somando tudo:
Passo 6
Confirmação alternativa (regra da cadeia) para o termo
, só para ver que dá o mesmo:
- Seja
. Então . - Derivada de
por regra da cadeia: . - Aqui
. Então . - Multiplicando pelo
que está fora: . - Somando com a derivada do
, que é , obtém-se novamente
Passo 7
Interpretação final rápida: a derivada
é um polinômio de grau 2. Na prova, se quiser economizar tempo, expandir primeiro funciona bem para polinômios — é direto e evita confusões — e para compostos maiores a regra da cadeia é a ferramenta geral.