Questão 1: Calcule a derivada das funções a seguir:
f(x)=5 x^{3}-2(x-1)^{2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(x)=5x^{3}-2(x-1)^{2}.
Informações dadas:
  • A função f está explicitada como soma de dois termos: 5x^{3} e -2(x-1)^{2}.
  • A tarefa é obter f'(x), ou seja, a derivada de f em função de x.

Passo 2

O que é a derivada, em palavras simples: a derivada de uma função em um ponto dá a inclinação da reta tangente naquele ponto; quando escrita como função, f'(x) dá essa inclinação para cada x. Notação comum: \dfrac{d}{dx}f(x)=f'(x).
Regras que vamos usar (explicadas de modo prático):
  • Regra da soma: a derivada da soma (ou diferença) é a soma (ou diferença) das derivadas. Ou seja, \dfrac{d}{dx}\big(g(x)+h(x)\big)=g'(x)+h'(x).
  • Regra do fator constante: se há uma constante multiplicando, ela sai na frente: \dfrac{d}{dx}\big(c\cdot g(x)\big)=c\cdot g'(x), onde c é constante.
  • Regra da potência (power rule): para g(x)=x^{n} com n inteiro positivo, \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}.
Vou aplicar essas regras passo a passo. Para o termo (x-1)^{2} pode-se usar duas abordagens equivalentes: expandir e derivar termo a termo (método algébrico simples) ou aplicar a regra da cadeia (versão mais geral). Vou mostrar primeiro a expansão (mais direta aqui) e depois confirmar com a regra da cadeia para reforçar.

Passo 3

Expandir o quadrado (x-1)^{2} (calma, é só a identidade de quadrado da diferença):
(x-1)^{2}=x^{2}-2x+1.
Portanto substituindo na função:
f(x)=5x^{3}-2\big(x^{2}-2x+1\big).

Passo 4

Multiplicar o -2 pelos termos dentro dos parênteses (distributiva):
-2\big(x^{2}-2x+1\big)=-2x^{2}+4x-2.
Logo a função escrita como polinômio fica
f(x)=5x^{3}-2x^{2}+4x-2.

Passo 5

Derivar termo a termo usando a regra da potência e a regra do fator constante:
  • Para \;5x^{3}: aplicar \dfrac{d}{dx}x^{3}=3x^{2} e multiplicar por 5, obtendo 5\cdot 3x^{2}=15x^{2}.
  • Para \;-2x^{2}: \dfrac{d}{dx}x^{2}=2x, multiplicando por -2 -2\cdot 2x=-4x.
  • Para \;4x: derivada de x é 1, então 4\cdot 1=4.
  • Para \;-2: constante, derivada é 0.
Somando tudo:
f'(x)=15x^{2}-4x+4+0=15x^{2}-4x+4.

Passo 6

Confirmação alternativa (regra da cadeia) para o termo -2(x-1)^{2}, só para ver que dá o mesmo:
  • Seja u(x)=x-1. Então (x-1)^{2}=u(x)^{2}.
  • Derivada de u(x)^{2} por regra da cadeia: \dfrac{d}{dx}u(x)^{2}=2u(x)\cdot u'(x).
  • Aqui u'(x)=\dfrac{d}{dx}(x-1)=1. Então \dfrac{d}{dx}(x-1)^{2}=2(x-1).
  • Multiplicando pelo -2 que está fora: -2\cdot 2(x-1)=-4(x-1)=-4x+4.
  • Somando com a derivada do 5x^{3}, que é 15x^{2}, obtém-se novamente
f'(x)=15x^{2}-4x+4.

Passo 7

Interpretação final rápida: a derivada \;f'(x)=15x^{2}-4x+4\; é um polinômio de grau 2. Na prova, se quiser economizar tempo, expandir primeiro funciona bem para polinômios — é direto e evita confusões — e para compostos maiores a regra da cadeia é a ferramenta geral.

Resposta

f'(x)=15x^{2}-4x+4

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