Questão: Condidere a função
, calcule
usando a definição namam de derivada.
(1,0 ponto)
(1,0 ponto)
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular
usando a definição (isto é, pela definição de derivada como limite). Informações relevantes:
- A função:
. - O ponto onde queremos a derivada:
. - O pedido: calcular
usando a definição da derivada (diferença incremental e limite).
Passo 2
Definição de derivada (o que vou usar e o que cada símbolo significa):
Aqui:
-
é o ponto onde queremos a derivada (aqui ). -
é um incremento pequeno em (vamos fazê-lo tender a ). - A fração
é o quociente de diferença: a inclinação da secante entre e . - O limite quando
nos dá a inclinação da tangente em , ou seja, a derivada.
Passo 3
Calcular
. Substituindo
em
:
Passo 4
Calcular
. Substituindo
em
e expandindo o quadrado:
Expliquei a expansão usando a identidade
.
Passo 5
Formar o quociente de diferença e simplificar:
Agora fatoramos
no numerador:
válido para
. Esta simplificação é a etapa chave para permitir passar ao limite.
Passo 6
Tomar o limite quando
. Usando propriedades básicas de limites (o limite da soma é a soma dos limites e o limite de uma constante é a constante):
Pela definição de derivada, esse é o valor de
(o limite do quociente de diferença).
Passo 7
Interpretação e generalização rápida (para ajudar na prova): o passo algébrico que tirou um
em comum é típico quando a função é polinomial. Repetindo a mesma ideia com
num ponto geral
dá
ou seja, a derivada de
em qualquer ponto
é
. Isso explica por que no caso
obtemos o número que encontramos acima.