1^{\text {a }} Questão: Condidere a função f(x)=x^{2}-1, calcule f^{\prime}(1) usando a definição namam de derivada.
(1,0 ponto)

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=x^{2}-1 e pede para calcular f^{\prime}(1) usando a definição (isto é, pela definição de derivada como limite). Informações relevantes:
  • A função: f(x)=x^{2}-1.
  • O ponto onde queremos a derivada: a=1.
  • O pedido: calcular f^{\prime}(1) usando a definição da derivada (diferença incremental e limite).

Passo 2

Definição de derivada (o que vou usar e o que cada símbolo significa):
f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.
Aqui:
  • a é o ponto onde queremos a derivada (aqui a=1).
  • h é um incremento pequeno em x (vamos fazê-lo tender a 0).
  • A fração \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} é o quociente de diferença: a inclinação da secante entre x=a e x=a+h.
  • O limite quando h\to0 nos dá a inclinação da tangente em x=a, ou seja, a derivada.

Passo 3

Calcular f(1). Substituindo x=1 em f(x)=x^{2}-1:
f(1)=1^{2}-1=1-1=0.

Passo 4

Calcular f(1+h). Substituindo x=1+h em f(x)=x^{2}-1 e expandindo o quadrado:
f(1+h)=(1+h)^{2}-1=1+2h+h^{2}-1=2h+h^{2}.
Expliquei a expansão usando a identidade (1+h)^{2}=1+2h+h^{2}.

Passo 5

Formar o quociente de diferença e simplificar:
\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\frac{(2h+h^{2})-0}{h}=\frac{2h+h^{2}}{h}.
Agora fatoramos h no numerador:
\frac{2h+h^{2}}{h}=\frac{h(2+h)}{h}=2+h,
válido para h\neq0. Esta simplificação é a etapa chave para permitir passar ao limite.

Passo 6

Tomar o limite quando h\to0. Usando propriedades básicas de limites (o limite da soma é a soma dos limites e o limite de uma constante é a constante):
\lim_{h\to0}(2+h)=2+ \lim_{h\to0}h=2+0=2.
Pela definição de derivada, esse é o valor de f'(1) (o limite do quociente de diferença).

Passo 7

Interpretação e generalização rápida (para ajudar na prova): o passo algébrico que tirou um h em comum é típico quando a função é polinomial. Repetindo a mesma ideia com f(x)=x^{2} num ponto geral a
f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{(a+h)^{2}-a^{2}}{h}=\lim_{h\to0}\frac{2ah+h^{2}}{h}=\lim_{h\to0}(2a+h)=2a,
ou seja, a derivada de x^{2} em qualquer ponto x é 2x. Isso explica por que no caso a=1 obtemos o número que encontramos acima.

Resposta

f'(1)=2

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