Questão 5. Calcule as derivadas:
(b) g(x)=\ln \left(x^{2}+1\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
g(x)=\ln\!\big(x^{2}+1\big).
Informações dadas relevantes:
  • A função é a logaritmo natural (ln) aplicado à expressão x^{2}+1.
  • A expressão interna é x^{2}+1.
  • Devemos encontrar g'(x), a derivada em relação a x.
    Nenhuma outra informação adicional foi fornecida.

Passo 2

Vamos lembrar uma fórmula chave que vamos usar (e entender): se tivermos uma função composta \ln\big(u(x)\big), a derivada é dada por
\frac{d}{dx}\ln\big(u(x)\big)=\frac{u'(x)}{u(x)}.
Por que isso vale? Faça assim: considere duas funções, h(t)=\ln t e u(x). Então a função composta é h(u(x)). Pela regra da cadeia,
\frac{d}{dx}h(u(x))=h'\big(u(x)\big)\cdot u'(x).
Sabemos que h'(t)=\dfrac{1}{t} para t>0. Substituindo t=u(x) obtemos
\frac{d}{dx}\ln\big(u(x)\big)=\frac{1}{u(x)}\cdot u'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}.
Aqui u'(x) significa a derivada da função interna u(x) em relação a x.

Passo 3

Agora identifique a função interna na nossa questão. Para g(x)=\ln\big(x^{2}+1\big) podemos definir
u(x)=x^{2}+1.
Precisamos calcular u'(x). Usando a regra de potência e a regra para constantes:
  • A derivada de x^{2} é 2x (porque \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}, aqui n=2).
  • A derivada de 1 é 0.
    Portanto
u'(x)=2x.

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula da Passo 2:
g'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}=\frac{2x}{x^{2}+1}.
Este resultado já está simplificado. Observe que x^{2}+1>0 para todo x\in\mathbb{R}, logo a fórmula vale para qualquer x real.

Passo 5

Para fixar: um exemplo numérico rápido — se x=1,
g'(1)=\frac{2\cdot 1}{1^{2}+1}=\frac{2}{2}=1.
Isso ajuda a verificar que o resultado faz sentido numericamente.

Resposta

g'(x)=\dfrac{2x}{x^{2}+1}

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