Questão 5. Calcule as derivadas:
(b)
(b)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações dadas relevantes:
- A função é a logaritmo natural (ln) aplicado à expressão
. - A expressão interna é
. - Devemos encontrar
, a derivada em relação a .
Nenhuma outra informação adicional foi fornecida.
Passo 2
Vamos lembrar uma fórmula chave que vamos usar (e entender): se tivermos uma função composta
, a derivada é dada por
Por que isso vale? Faça assim: considere duas funções,
e
. Então a função composta é
. Pela regra da cadeia,
Sabemos que
para
. Substituindo
obtemos
Aqui
significa a derivada da função interna
em relação a
.
Passo 3
Agora identifique a função interna na nossa questão. Para
podemos definir
Precisamos calcular
. Usando a regra de potência e a regra para constantes:
- A derivada de
é (porque , aqui ). - A derivada de
é .
Portanto
Passo 4
Agora aplicamos a fórmula da Passo 2:
Este resultado já está simplificado. Observe que
para todo
, logo a fórmula vale para qualquer
real.
Passo 5
Para fixar: um exemplo numérico rápido — se
,
Isso ajuda a verificar que o resultado faz sentido numericamente.