Questão 6. Mostre que a função
é diferenciável em todo
e, portanto, contínua.
Dica: calcule a derivada pela definição e depois use a regra geral para confirmar.
Dica: calcule a derivada pela definição e depois use a regra geral para confirmar.
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
. Pede-se para:
- Mostrar que
é diferenciável em todo calculando a derivada pela definição. - Confirmar o resultado usando a regra geral (para checar).
- Concluir que, portanto,
é contínua em todo .
As informações relevantes são apenas a expressão dee que devemos usar a definição de derivada primeiro e depois a regra geral para confirmar.
Passo 2
Definição de derivada (aula rápida e bem prática): dizer que
é diferenciável num ponto
significa que o seguinte limite existe (e, se existir, chamamos esse limite de
):
Aqui
é a variação em
; a expressão
chama-se quociente incremental. Se esse limite existir (é um número finito) para um dado
, então
tem derivada nesse
. Vou aplicar essa definição à nossa
.
Passo 3
Calcular o quociente incremental para
. Primeiro expandimos
:
Subtraindo
e dividindo por
:
Fatorando
no numerador e simplificando:
Agora tomamos o limite quando
:
Como
é constante em relação a
, a propriedade dos limites dá
Portanto, pela definição,
Passo 4
Conclusão sobre diferenciabilidade: a dedução acima vale para qualquer
(em nenhum passo houve hipótese especial sobre
), e o limite existe e é finito para todo
. Logo
é diferenciável em todo
e sua derivada é dada por
para todo
.
Passo 5
Confirmação pela regra geral (duas formas rápidas e intuitivas):
- Regra do expoente (power rule): para polinômios sabe-se que
. Aplicando para obtemos , que coincide com o resultado pelo limite. - Alternativa via regra do produto (mais elementar): escrevemos
. Aplicando a regra do produto com e , e lembrando que , temos
Ambas as verificações confirmam
.
Passo 6
Por que diferenciabilidade implica continuidade (explicação didática): suponha que
é diferenciável em um ponto
. Então
existe. Observe que
Tomando limite
em ambos os lados, o primeiro termo dá
e o segundo termo é
. Como
e
é finito, o produto tem limite
. Assim
, o que é exatamente a definição de continuidade em
. Como
é diferenciável em todo
, ela é contínua em todo
.
Passo 7
Verificação direta da continuidade para
(modo concreto, sem teorema): para
,
Logo
. Portanto
é contínua em qualquer
. Isso confirma novamente a dedução geral.