Questão 6. Mostre que a função f(x)=x^{2} é diferenciável em todo \mathbb{R} e, portanto, contínua.
Dica: calcule a derivada pela definição e depois use a regra geral para confirmar.

Passo 1

O enunciado dá a função f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R} definida por f(x)=x^{2}. Pede-se para:
  1. Mostrar que f é diferenciável em todo \mathbb{R} calculando a derivada pela definição.
  2. Confirmar o resultado usando a regra geral (para checar).
  3. Concluir que, portanto, f é contínua em todo \mathbb{R}.
    As informações relevantes são apenas a expressão de f e que devemos usar a definição de derivada primeiro e depois a regra geral para confirmar.

Passo 2

Definição de derivada (aula rápida e bem prática): dizer que f é diferenciável num ponto x significa que o seguinte limite existe (e, se existir, chamamos esse limite de f'(x)):
f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
Aqui h é a variação em x; a expressão \frac{f(x+h)-f(x)}{h} chama-se quociente incremental. Se esse limite existir (é um número finito) para um dado x, então f tem derivada nesse x. Vou aplicar essa definição à nossa f(x)=x^{2}.

Passo 3

Calcular o quociente incremental para f(x)=x^{2}. Primeiro expandimos f(x+h):
f(x+h)=(x+h)^{2}=x^{2}+2xh+h^{2}.
Subtraindo f(x) e dividindo por h:
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{(x^{2}+2xh+h^{2})-x^{2}}{h}=\frac{2xh+h^{2}}{h}.
Fatorando h no numerador e simplificando:
\frac{2xh+h^{2}}{h}=2x+h.
Agora tomamos o limite quando h\to 0:
f'(x)=\lim_{h\to 0}(2x+h).
Como 2x é constante em relação a h, a propriedade dos limites dá
\lim_{h\to 0}(2x+h)=2x+0=2x.
Portanto, pela definição,
f'(x)=2x.

Passo 4

Conclusão sobre diferenciabilidade: a dedução acima vale para qualquer x\in\mathbb{R} (em nenhum passo houve hipótese especial sobre x), e o limite existe e é finito para todo x. Logo f é diferenciável em todo \mathbb{R} e sua derivada é dada por \,f'(x)=2x para todo x\in\mathbb{R}.

Passo 5

Confirmação pela regra geral (duas formas rápidas e intuitivas):
  1. Regra do expoente (power rule): para polinômios sabe-se que \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}. Aplicando para n=2 obtemos \dfrac{d}{dx}x^{2}=2x, que coincide com o resultado pelo limite.
  2. Alternativa via regra do produto (mais elementar): escrevemos x^{2}=x\cdot x. Aplicando a regra do produto (uv)'=u'v+uv' com u(x)=x e v(x)=x, e lembrando que \dfrac{d}{dx}x=1, temos
\frac{d}{dx}(x\cdot x)=1\cdot x + x\cdot 1 = 2x.
Ambas as verificações confirmam f'(x)=2x.

Passo 6

Por que diferenciabilidade implica continuidade (explicação didática): suponha que f é diferenciável em um ponto a. Então \displaystyle\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=f'(a) existe. Observe que
f(x)=f(a)+\big(f(x)-f(a)\big)=f(a)+(x-a)\cdot\frac{f(x)-f(a)}{x-a}.
Tomando limite x\to a em ambos os lados, o primeiro termo dá f(a) e o segundo termo é \lim_{x\to a}(x-a)\cdot\frac{f(x)-f(a)}{x-a}. Como \lim_{x\to a}(x-a)=0 e \lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=f'(a) é finito, o produto tem limite 0\cdot f'(a)=0. Assim \lim_{x\to a}f(x)=f(a), o que é exatamente a definição de continuidade em a. Como f é diferenciável em todo \mathbb{R}, ela é contínua em todo \mathbb{R}.

Passo 7

Verificação direta da continuidade para f(x)=x^{2} (modo concreto, sem teorema): para h\to 0,
f(x+h)=(x+h)^{2}=x^{2}+2xh+h^{2}.
Logo \lim_{h\to 0}f(x+h)=x^{2}+\lim_{h\to 0}(2xh+h^{2})=x^{2}+0=x^{2}=f(x). Portanto f é contínua em qualquer x. Isso confirma novamente a dedução geral.

Resposta

f'(x)=2x para todo x\in\mathbb{R}.\n f é contínua em todo \mathbb{R}.

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