Observação importante extraída da definição: o valor de f em x=1 é dado pela primeira parte, isto é,
f(1)=1^{2}=1.]
Passo 2
Vamos entender o que significa "ser contínua em x=1". Definição (explicada passo a passo): uma função f é contínua em x=1 se o limite quando x se aproxima de 1 existe e é igual ao valor da função em 1. Como a função é por partes, é suficiente checar os limites laterais:
\lim_{x\to1^-} f(x),\qquad \lim_{x\to1^+} f(x),
e comparar ambos com f(1). Se as duas existir e são iguais entre si e a f(1), então f é contínua em 1.
Passo 3
Calculemos o limite pela esquerda. Para x\to1^{-} usamos a parte f(x)=x^{2}. Substituindo diretamente (porque x^{2} é contínua em todo lugar) obtemos
\lim_{x\to1^-} f(x)=\lim_{x\to1^-} x^{2}=1^{2}=1.
Esse cálculo é apenas uma aplicação da propriedade de limites para polinômios: se uma função é polinomial, podemos avaliar o limite substituindo o ponto.
Passo 4
Calculemos o limite pela direita. Para x\to1^{+} usamos a parte f(x)=2x-1. Como 2x-1 é uma função linear (continua em todo lugar), podemos avaliar o limite por substituição:
Como os limites laterais existem, são iguais entre si e igualam f(1), concluímos que f é contínua em x=1. (Pequena observação teórica: diferenciabilidade implica continuidade, mas aqui fizemos a verificação direta dos limites.)
Passo 6
Agora vamos à derivabilidade em x=1. Definição (passo a passo): f é derivável em x=1 se o limite do quociente diferencial existir:
f'(1)=\lim_{h\to0}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}.
Para funções por partes normalmente verificamos as derivadas laterais:
Como essa expressão é exatamente 2 para todo h>0 (exceto h=0), o limite quando h\to0^{+} é
f'_{+}(1)=2.
Passo 9
Como f'_{-}(1)=2 e f'_{+}(1)=2, as derivadas laterais coincidem. Portanto o limite do quociente diferencial existe e vale 2. Concluímos que f é derivável em x=1 e
f'(1)=2.
Pequena observação prática: poderíamos também ter usado de cara que a derivada da parte esquerda é 2x e da parte direita é 2, então avaliando em x=1 obtemos 2 em ambos os lados — é uma maneira mais rápida quando as partes são diferenciáveis.
Passo 10
Interpretação geométrica — explicação didática e visual: para x\le1 o gráfico de f é a parábola y=x^{2} cortando o ponto (1,1). Para x>1 o gráfico é a reta y=2x-1. Calculando a reta tangente à parábola em (1,1) usando ponto e inclinação m=f'(1)=2 obtemos a equação
y-1=2(x-1)\quad\Rightarrow\quad y=2x-1.
Essa é exatamente a parte linear da função para x>1. Geometricamente isso significa que a parábola e a reta encontram-se em (1,1) de forma suave: elas têm o mesmo valor e a mesma inclinação no ponto de contato. Não há canto (corner) nem cusp (ponta), o gráfico é “liso” em x=1. Para contrastar, um exemplo clássico de função contínua mas não derivável é g(x)=|x| em x=0: ali os limites laterais das derivadas são -1 e 1, diferente do nosso caso em que ambos são 2.
Resposta
(a) f é contínua em x=1.\n(b) f é derivável em x=1 e f'(1)=2.\n(c) Geometricamente a parábola y=x^{2} (ramo esquerdo) e a reta y=2x-1 (ramo direito) encontram-se em (1,1) com a mesma inclinação 2; portanto o gráfico é contínuo e suave em x=1 (não há canto).