Questão 7. Considere a função
f(x)= \begin{cases}x^{2}, & x \leq 1 \\\\ 2 x-1, & x>1\end{cases}
(a) Verifique se f é contínua em x=1.
(b) Verifique se f é derivável em x=1.
(c) Interprete geometricamente o resultado.

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x)= \begin{cases}x^{2}, & x \leq 1 \\[4pt] 2x-1, & x>1\end{cases}
e pede três coisas:
(a) verificar se f é contínua em x=1;
(b) verificar se f é derivável em x=1;
(c) dar uma interpretação geométrica do resultado.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
\text{para }x\le 1\text{ temos }f(x)=x^{2},\qquad\text{para }x>1\text{ temos }f(x)=2x-1.
Observação importante extraída da definição: o valor de f em x=1 é dado pela primeira parte, isto é,
f(1)=1^{2}=1.]

Passo 2

Vamos entender o que significa "ser contínua em x=1". Definição (explicada passo a passo): uma função f é contínua em x=1 se o limite quando x se aproxima de 1 existe e é igual ao valor da função em 1. Como a função é por partes, é suficiente checar os limites laterais:
\lim_{x\to1^-} f(x),\qquad \lim_{x\to1^+} f(x),
e comparar ambos com f(1). Se as duas existir e são iguais entre si e a f(1), então f é contínua em 1.

Passo 3

Calculemos o limite pela esquerda. Para x\to1^{-} usamos a parte f(x)=x^{2}. Substituindo diretamente (porque x^{2} é contínua em todo lugar) obtemos
\lim_{x\to1^-} f(x)=\lim_{x\to1^-} x^{2}=1^{2}=1.
Esse cálculo é apenas uma aplicação da propriedade de limites para polinômios: se uma função é polinomial, podemos avaliar o limite substituindo o ponto.

Passo 4

Calculemos o limite pela direita. Para x\to1^{+} usamos a parte f(x)=2x-1. Como 2x-1 é uma função linear (continua em todo lugar), podemos avaliar o limite por substituição:
\lim_{x\to1^+} f(x)=\lim_{x\to1^+} (2x-1)=2\cdot 1-1=1.

Passo 5

Comparando os três valores que precisamos:
\lim_{x\to1^-} f(x)=1,\qquad \lim_{x\to1^+} f(x)=1,\qquad f(1)=1.
Como os limites laterais existem, são iguais entre si e igualam f(1), concluímos que f é contínua em x=1. (Pequena observação teórica: diferenciabilidade implica continuidade, mas aqui fizemos a verificação direta dos limites.)

Passo 6

Agora vamos à derivabilidade em x=1. Definição (passo a passo): f é derivável em x=1 se o limite do quociente diferencial existir:
f'(1)=\lim_{h\to0}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}.
Para funções por partes normalmente verificamos as derivadas laterais:
f'_{-}(1)=\lim_{h\to0^-}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}\qquad\text{e}\qquad f'_{+}(1)=\lim_{h\to0^+}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}.
Se esses dois limites existirem e forem iguais, então f'(1) existe e é igual a esse valor comum.

Passo 7

Calculemos a derivada lateral pela esquerda. Para h<0 pequeno, 1+h\le 1 então usamos a parte x^{2}. Temos:
\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\frac{(1+h)^{2}-1}{h}.
Desenvolvendo o numerador:
(1+h)^{2}-1=1+2h+h^{2}-1=2h+h^{2}.
Dividindo por h (com h\neq0):
\frac{2h+h^{2}}{h}=2+h.
Agora tomamos o limite quando h\to0^{-}:
f'_{-}(1)=\lim_{h\to0^-}(2+h)=2.
Observação didática: o resultado aqui é a avaliação da derivada da função x^{2} em x=1, já que a derivada de x^{2} é 2x e para x=1 2.

Passo 8

Calculemos a derivada lateral pela direita. Para h>0 pequeno, 1+h>1 então usamos a parte 2x-1. Temos:
\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\frac{[2(1+h)-1]-1}{h}=\frac{1+2h-1}{h}=\frac{2h}{h}=2.
Como essa expressão é exatamente 2 para todo h>0 (exceto h=0), o limite quando h\to0^{+} é
f'_{+}(1)=2.

Passo 9

Como f'_{-}(1)=2 e f'_{+}(1)=2, as derivadas laterais coincidem. Portanto o limite do quociente diferencial existe e vale 2. Concluímos que f é derivável em x=1 e
f'(1)=2.
Pequena observação prática: poderíamos também ter usado de cara que a derivada da parte esquerda é 2x e da parte direita é 2, então avaliando em x=1 obtemos 2 em ambos os lados — é uma maneira mais rápida quando as partes são diferenciáveis.

Passo 10

Interpretação geométrica — explicação didática e visual: para x\le1 o gráfico de f é a parábola y=x^{2} cortando o ponto (1,1). Para x>1 o gráfico é a reta y=2x-1. Calculando a reta tangente à parábola em (1,1) usando ponto e inclinação m=f'(1)=2 obtemos a equação
y-1=2(x-1)\quad\Rightarrow\quad y=2x-1.
Essa é exatamente a parte linear da função para x>1. Geometricamente isso significa que a parábola e a reta encontram-se em (1,1) de forma suave: elas têm o mesmo valor e a mesma inclinação no ponto de contato. Não há canto (corner) nem cusp (ponta), o gráfico é “liso” em x=1. Para contrastar, um exemplo clássico de função contínua mas não derivável é g(x)=|x| em x=0: ali os limites laterais das derivadas são -1 e 1, diferente do nosso caso em que ambos são 2.

Resposta

(a) f é contínua em x=1.\n(b) f é derivável em x=1 e f'(1)=2.\n(c) Geometricamente a parábola y=x^{2} (ramo esquerdo) e a reta y=2x-1 (ramo direito) encontram-se em (1,1) com a mesma inclinação 2; portanto o gráfico é contínuo e suave em x=1 (não há canto).

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