1{ }^{a} Questāo. Calcule as derivadas das funções e simplifique as respostas.
f(x)=x^{5}+2 x^{3}+7 x

Passo 1

O enunciado pede: calcular a derivada da função e simplificar a resposta.
A função dada é f(x)=x^{5}+2x^{3}+7x.
Informações relevantes: temos três termos somados — x^{5}, 2x^{3} e 7x — e queremos \frac{d}{dx}f(x).

Passo 2

Regras que vamos usar (explicadas com calma):
  • Regra da linearidade (soma): a derivada da soma é a soma das derivadas. Ou seja, se g(x)=u(x)+v(x), então \frac{d}{dx}g(x)=\frac{d}{dx}u(x)+\frac{d}{dx}v(x). Aqui u(x) e v(x) são funções de x.
  • Regra do fator constante: uma constante pode sair da derivada. Se g(x)=c\cdot u(x) com c constante, então \frac{d}{dx}g(x)=c\cdot\frac{d}{dx}u(x).
  • Regra da potência (power rule): para todo número real n, \frac{d}{dx}x^{n}=n\,x^{n-1}. Explicando as letras: x é a variável independente; n é o expoente (constante). A operação \frac{d}{dx} significa "taxa de variação de … em relação a x".
Essas três regras são suficientes para derivar cada termo de f(x).

Passo 3

Aplicando a linearidade para separar os termos:
\frac{d}{dx}f(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{5}+2x^{3}+7x\bigr) =\frac{d}{dx}x^{5}+\frac{d}{dx}\bigl(2x^{3}\bigr)+\frac{d}{dx}\bigl(7x\bigr).

Passo 4

Derivando o primeiro termo \frac{d}{dx}x^{5} usando a regra da potência:
pela regra da potência, com n=5,
\frac{d}{dx}x^{5}=5\,x^{5-1}=5\,x^{4}.
Interpretação: multiplicamos pelo expoente e subtraímos 1 do expoente.

Passo 5

Derivando o segundo termo \frac{d}{dx}\bigl(2x^{3}\bigr). Primeiro use a regra do fator constante (o 2 sai):
\frac{d}{dx}\bigl(2x^{3}\bigr)=2\cdot\frac{d}{dx}x^{3}.
Agora aplique a regra da potência com n=3:
\frac{d}{dx}x^{3}=3\,x^{2},
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\frac{d}{dx}\bigl(2x^{3}\bigr)=2\cdot 3\,x^{2}=6\,x^{2}.

Passo 6

Derivando o terceiro termo \frac{d}{dx}\bigl(7x\bigr). Podemos ver 7x como 7\cdot x^{1}. Aplicando fator constante e regra da potência com n=1:
\frac{d}{dx}\bigl(7x\bigr)=7\cdot\frac{d}{dx}x^{1}=7\cdot 1\cdot x^{0}=7\cdot 1=7.
Observação prática: a derivada de ax (com a constante) é a.

Passo 7

Somando as derivadas de cada termo (volta à expressão do Passo 3):
\frac{d}{dx}f(x)=5\,x^{4}+6\,x^{2}+7.
Isso já está simplificado: não há termos semelhantes para combinar mais.

Resposta

f'(x)=5x^{4}+6x^{2}+7

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