( 1,5 ponto) A tabela a seguir fornece os valores de uma função obtidos experimentalmente. Use-os para estimar \int_{-2}^{4} f(x) d x utilizando subintervalos iguais com os pontos médios como os pontos amostrais.
x -2 -1 0 1 2 3 4
f(x) -2,4 -1,7 -0,5 1,5 3,4 0 -2,5
Obs: TODAS as questões feitas nesta prova devem ser devidamente EXPLICADAS.

Passo 1

O enunciado pede que eu estime \int_{-2}^{4} f(x)\,dx usando subintervalos iguais e os pontos médios como pontos amostrais.
As informações relevantes (tirei os dados da tabela fornecida no enunciado):
\begin{array}{c|ccccccc} x & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4\\hline f(x) & -2,4 & -1,7 & -0,5 & 1,5 & 3,4 & 0 & -2,5 \end{array}
Observação: os valores de f(x) que vou usar adiante são exatamente os que peguei na tabela acima.

Passo 2

Apresento e explico a regra do ponto médio (midpoint rule), que é a exigida pelo enunciado. A ideia é dividir o intervalo [a,b] em n subintervalos iguais de largura h e aproximar a integral por
M_n = h\sum_{i=1}^{n} f(x_i^*),
onde:
  • a e b são os limites do intervalo de integração (aqui a=-2 e b=4);
  • n é o número de subintervalos iguais que eu escolho;
  • h é a largura de cada subintervalo, dada por \displaystyle h=\frac{b-a}{n};
  • x_i^* é o ponto médio do i-ésimo subintervalo; o valor f(x_i^*) é a amostra usada nesse subintervalo.
    Explicando com calma: cada subintervalo tem largura h. No lugar de integrar a função continuamente, a regra do ponto médio substitui a função dentro de cada subintervalo por uma “altura” constante igual ao valor no ponto médio; a área do retângulo aproximador é então f(x_i^*)\cdot h. Somando esses retângulos obtemos M_n.

Passo 3

Escolha de n (número de subintervalos) e cálculo de h. Como tenho na tabela apenas os valores de f nos pontos inteiros x=-2,-1,\dots,4, preciso escolher n tal que os pontos médios coincidam com alguns desses pontos onde f é conhecido.
O intervalo é [a,b]=[-2,4] com comprimento b-a=6. Se eu escolher n=3 subintervalos iguais, então
h=\frac{b-a}{n}=\frac{6}{3}=2.
Com h=2 os subintervalos são [-2,0], [0,2] e [2,4]. Os pontos médios desses subintervalos são
x_1^*=-1,\qquad x_2^*=1,\qquad x_3^*=3,
que aparecem na tabela — portanto posso usar f(x_1^*), f(x_2^*) e f(x_3^*) diretamente. (Se eu tivesse escolhido n=6 com h=1, os pontos médios seriam -1,5,-0,5,\dots que não constam na tabela, então não daria para avaliar f sem interpolar; por isso n=3 é a escolha prática.)

Passo 4

Pegando os valores de f na tabela para os pontos médios (estou explicitando que peguei estes valores da tabela):
f(-1)=-1,7,\qquad f(1)=1,5,\qquad f(3)=0.
Agora aplico a fórmula do passo 2 com h=2 e n=3:
M_3 = h\bigl(f(-1)+f(1)+f(3)\bigr)=2\bigl(-1,7+1,5+0\bigr).
Faço a soma dentro do parêntese passo a passo:
-1,7+1,5 = -0,2,
então
M_3 = 2\cdot(-0,2) = -0,4.

Passo 5

Interpretação final: a aproximação pela regra do ponto médio com 3 subintervalos (cada um de largura 2) usando os pontos médios disponíveis na tabela é -0,4. Dá para confiar razoavelmente nessa aproximação dado que usamos exatamente valores experimentais nos pontos médios; se você quisesse melhorar a aproximação sem mais dados, teria que interpolar ou obter mais medidas. Tá indo bem — mesmo com pouco tempo dá pra resolver assim!

Resposta

-0,4

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