( 1,5 ponto) A tabela a seguir fornece os valores de uma função obtidos experimentalmente. Use-os para estimar
utilizando subintervalos iguais com os pontos médios como os pontos amostrais.
-2
-1
0
1
2
3
4
1,5
3,4
0
Obs: TODAS as questões feitas nesta prova devem ser devidamente EXPLICADAS.
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-2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
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1,5 | 3,4 | 0 |
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Passo 1
O enunciado pede que eu estime
usando subintervalos iguais e os pontos médios como pontos amostrais.
As informações relevantes (tirei os dados da tabela fornecida no enunciado):
As informações relevantes (tirei os dados da tabela fornecida no enunciado):
Observação: os valores de
que vou usar adiante são exatamente os que peguei na tabela acima.
Passo 2
Apresento e explico a regra do ponto médio (midpoint rule), que é a exigida pelo enunciado. A ideia é dividir o intervalo
em
subintervalos iguais de largura
e aproximar a integral por
onde:
-
e são os limites do intervalo de integração (aqui e ); -
é o número de subintervalos iguais que eu escolho; -
é a largura de cada subintervalo, dada por ; -
é o ponto médio do -ésimo subintervalo; o valor é a amostra usada nesse subintervalo.
Explicando com calma: cada subintervalo tem largura. No lugar de integrar a função continuamente, a regra do ponto médio substitui a função dentro de cada subintervalo por uma “altura” constante igual ao valor no ponto médio; a área do retângulo aproximador é então . Somando esses retângulos obtemos .
Passo 3
Escolha de
(número de subintervalos) e cálculo de
. Como tenho na tabela apenas os valores de
nos pontos inteiros
, preciso escolher
tal que os pontos médios coincidam com alguns desses pontos onde
é conhecido.
O intervalo é com comprimento
. Se eu escolher
subintervalos iguais, então
O intervalo é
Com
os subintervalos são
,
e
. Os pontos médios desses subintervalos são
que aparecem na tabela — portanto posso usar
,
e
diretamente. (Se eu tivesse escolhido
com
, os pontos médios seriam
que não constam na tabela, então não daria para avaliar
sem interpolar; por isso
é a escolha prática.)
Passo 4
Pegando os valores de
na tabela para os pontos médios (estou explicitando que peguei estes valores da tabela):
Agora aplico a fórmula do passo 2 com
e
:
Faço a soma dentro do parêntese passo a passo:
então
Passo 5
Interpretação final: a aproximação pela regra do ponto médio com
subintervalos (cada um de largura
) usando os pontos médios disponíveis na tabela é
. Dá para confiar razoavelmente nessa aproximação dado que usamos exatamente valores experimentais nos pontos médios; se você quisesse melhorar a aproximação sem mais dados, teria que interpolar ou obter mais medidas. Tá indo bem — mesmo com pouco tempo dá pra resolver assim!