Use os coeficientes a determinar e determine a soluçåo da equaçâo diferencial y^{\prime \prime}-10 y^{\prime}+25 y=20 x+2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y'' - 10y' + 25y = 20x + 2.
Informações dadas:
  • A equação é linear, de segunda ordem, com coeficientes constantes.
  • O termo não homogêneo (lado direito) é o polinômio 20x+2 (grau 1).
    O que precisamos encontrar: a solução geral y(x) — ou seja, a solução da parte homogênea mais uma solução particular que satisfaça a equação completa.

Passo 2

Primeiro tratamos a equação homogênea associada:
y'' - 10y' + 25y = 0.
Para resolver equações lineares homogêneas com coeficientes constantes usamos a equação característica. A equação característica é obtida trocando y^{(n)} por r^n, então obtemos:
r^2 - 10r + 25 = 0.
Esta é uma equação quadrática em r. Vamos resolvê-la.

Passo 3

Resolvendo a equação característica
r^2 - 10r + 25 = 0
podemos reconhecer que é um quadrado perfeito, pois 25 = 5^2 e -10 = -2\cdot5. Então fatoramos:
r^2 - 10r + 25 = (r-5)^2.
A raiz é r=5 com multiplicidade 2. Para uma raiz real r_0 de multiplicidade m a solução geral da homogênea tem a forma
y_h(x) = \big(C_1 + C_2 x + \cdots + C_m x^{m-1}\big)e^{r_0 x}.
Aqui m=2, portanto
y_h(x) = (C_1 + C_2 x)e^{5x},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias. Explicando as variáveis: C_1,C_2 são constantes de integração que aparecerão na solução geral.

Passo 4

Agora buscamos uma solução particular y_p(x) da equação completa
y'' - 10y' + 25y = 20x + 2.
Usamos o método dos coeficientes a determinar (undetermined coefficients). A ideia: como o lado direito é um polinômio de grau 1, tentamos um polinômio de mesmo grau como palpite para y_p, ou seja:
y_p(x) = ax + b,
com a,b constantes a determinar. Antes de aceitar esse palpite, checamos se há ressonância: se alguma solução da homogênea tiver a forma de um polinômio igual ao palpite multiplicado por uma exponencial com expoente zero. Aqui as soluções homogêneas envolvem e^{5x}, não e^{0x}=1, logo não há ressonância com polinômios puros; portanto y_p(x)=ax+b é adequado.

Passo 5

Calcule as derivadas de y_p:
y_p'(x) = a,
y_p''(x) = 0.
Substituímos na equação diferencial:
y_p'' - 10y_p' + 25y_p = 0 - 10a + 25(ax+b).
Agrupando termos em x e constantes:
0 - 10a + 25ax + 25b = 25a x + (25b - 10a).
Isso deve igualar o lado direito 20x + 2. Portanto devemos ter igualdade termo a termo entre coeficientes de x e coeficientes constantes.

Passo 6

Igualando coeficientes do polinômio:
coeficiente de x:
25a = 20.
coeficiente constante:
25b - 10a = 2.
Resolva para a primeiro:
a = \frac{20}{25} = \frac{4}{5}.
Agora substitua a na equação para b:
25b - 10\cdot\frac{4}{5} = 2.
Calcule 10\cdot\frac{4}{5} = 8. Então
25b - 8 = 2 \quad\Rightarrow\quad 25b = 10 \quad\Rightarrow\quad b = \frac{10}{25} = \frac{2}{5}.
Logo a solução particular é
y_p(x) = \frac{4}{5}x + \frac{2}{5}.

Passo 7

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a particular:
y(x) = y_h(x) + y_p(x).
Substituindo os resultados:
y(x) = (C_1 + C_2 x)e^{5x} + \frac{4}{5}x + \frac{2}{5},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias (determinariam-se com condições iniciais, se houvessem).

Resposta

y(x)=(C_{1}+C_{2}x)e^{5x}+\dfrac{4}{5}x+\dfrac{2}{5}

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