Use os coeficientes a determinar e determine a soluçåo da equaçâo diferencial
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
Informações dadas:
- A equação é linear, de segunda ordem, com coeficientes constantes.
- O termo não homogêneo (lado direito) é o polinômio
(grau 1).
O que precisamos encontrar: a solução geral— ou seja, a solução da parte homogênea mais uma solução particular que satisfaça a equação completa.
Passo 2
Primeiro tratamos a equação homogênea associada:
Para resolver equações lineares homogêneas com coeficientes constantes usamos a equação característica. A equação característica é obtida trocando
por
, então obtemos:
Esta é uma equação quadrática em
. Vamos resolvê-la.
Passo 3
Resolvendo a equação característica
podemos reconhecer que é um quadrado perfeito, pois
e
. Então fatoramos:
A raiz é
com multiplicidade
. Para uma raiz real
de multiplicidade
a solução geral da homogênea tem a forma
Aqui
, portanto
onde
e
são constantes arbitrárias. Explicando as variáveis:
são constantes de integração que aparecerão na solução geral.
Passo 4
Agora buscamos uma solução particular
da equação completa
Usamos o método dos coeficientes a determinar (undetermined coefficients). A ideia: como o lado direito é um polinômio de grau
, tentamos um polinômio de mesmo grau como palpite para
, ou seja:
com
constantes a determinar. Antes de aceitar esse palpite, checamos se há ressonância: se alguma solução da homogênea tiver a forma de um polinômio igual ao palpite multiplicado por uma exponencial com expoente zero. Aqui as soluções homogêneas envolvem
, não
, logo não há ressonância com polinômios puros; portanto
é adequado.
Passo 5
Calcule as derivadas de
:
Substituímos na equação diferencial:
Agrupando termos em
e constantes:
Isso deve igualar o lado direito
. Portanto devemos ter igualdade termo a termo entre coeficientes de
e coeficientes constantes.
Passo 6
Igualando coeficientes do polinômio:
coeficiente de :
coeficiente de
coeficiente constante:
Resolva para
primeiro:
Agora substitua
na equação para
:
Calcule
. Então
Logo a solução particular é
Passo 7
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a particular:
Substituindo os resultados:
onde
e
são constantes arbitrárias (determinariam-se com condições iniciais, se houvessem).